Şekle göre alan formülleri
Aşağıdaki tablo, desteklenen her şekil için standart formülü ve gereken girdileri özetler.
| Şekil | Alan formülü | Gereken girdiler |
|---|---|---|
| Daire | A = πr² | yarıçap r |
| Üçgen | A = ½ × taban × yükseklik | taban, yükseklik |
| Dikdörtgen | A = taban × genişlik | taban, genişlik |
| Yamuk | A = ½ × (a + b) × yükseklik | paralel kenarlar a, b, yükseklik |
| Paralelkenar | A = taban × yükseklik | taban, yükseklik |
| Elips | A = π × a × b | yarı eksenler a, b |
| Düzgün çokgen | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | kenar sayısı n, kenar uzunluğu s |
| Daire dilimi | A = ½ r²θ | yarıçap r, açı θ |
- Elipsin çevresi için tam bir kapalı form yoktur; eliptik integral gerekir. Bu hesaplayıcı Ramanujan'ın ikinci yaklaşımını kullanır; hata çok basık elipslerde bile yaklaşık %0,02'nin altında kalır ve daireye yakın elipslerde çok daha küçüktür.
- Taban ve yükseklikten üçgen alanı (½ × taban × yükseklik), yalnızca yükseklik tabana karşı köşeye olan dik uzaklık olduğunda tam sonuç verir; eğik bir kenar uzunluğu olduğunda değil.
- Düzensiz bir çokgen veya yalnızca üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgen için bunun yerine Heron formülünü kullanın — üçgen hesaplayıcısına bakın.
- Düzgün çokgen formülü, n kenarın ve iç açıların tümünün eşit olduğunu varsayar; düzensiz çokgenler için geçerli değildir.
Alan nedir?
Alan, bir şeklin sınırının çevrelediği iki boyutlu uzayın miktarıdır ve kare birimlerle (örneğin metrekare veya fitkare) ölçülür. Her düzgün şeklin, alanını az sayıda ölçülen boyuttan türeten bir formülü vardır; örneğin bir dairenin yarıçapı veya bir dikdörtgenin tabanı ve genişliği.
Burada ele alınan sekiz şekil — daire, üçgen, dikdörtgen, yamuk, paralelkenar, elips, düzgün çokgen ve daire dilimi — okul geometrisinde, inşaat metraj hesaplarında ve günlük ölçüm problemlerinde en sık karşılaşılan şekilleri kapsar. Her biri kendine özgü, standart bir formül kullanır.
Bu alan hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Ölçmek istediğiniz şekli şekil açılır menüsünden seçin.
- O şekil için istenen boyutları girin — örneğin bir daire için yarıçap, ya da bir üçgen veya paralelkenar için taban ve yükseklik.
- Bir yamuk için, her iki paralel kenarı (a ve b) ve aralarındaki dik yüksekliği girin.
- Düzgün bir çokgen için kenar sayısını (n) ve bir kenarın uzunluğunu (a) girin; bir dilim için ise yarıçapı ve merkez açısını derece cinsinden girin.
- Değerleri değiştirdikçe anında güncellenen alanı ve çevre veya yay uzunluğu gibi ikincil bir sonucu okuyun.
Her şeklin alanının arkasındaki formül
Her şekil kendi kapalı form alan formülünü kullanır. Bir daire dilimi için girilen açılar, dilim formülü radyan cinsinden tanımlandığından, kullanılmadan önce dereceden radyana dönüştürülür.
Sık yapılan hatalar
- Dik yükseklik yerine üçgenin eğik kenar uzunluğunu girmek — bu, hesaplanan alanı olduğundan büyük gösterir.
- Daire veya dilim şekli için yarıçapı çapla karıştırmak — formül çapı değil yarıçapı gerektirir.
- Bir dilim için, hesaplayıcı derece (0–360°) beklerken açıyı radyan cinsinden girmek.
- Bir yamuk için, paralel olmayan bir kenarı iki paralel kenardan (a veya b) biriyle karıştırmak.
- Düzgün çokgen formülünün, kenarları veya açıları eşit olmayan düzensiz şekiller için de geçerli olduğunu varsaymak.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir dairenin alanı nasıl bulunur?
Bir dairenin alanı, π çarpı yarıçapın karesine eşittir (A = πr²). Yarıçapı 5 olan bir dairenin alanı π × 5² = π × 25 ≈ 78,5398 kare birimdir.
Bir üçgenin alanı nedir?
Bir üçgenin alanı, tabanının yarısı çarpı dik yüksekliğine eşittir (A = ½ × taban × yükseklik). Tabanı 4 ve yüksekliği 3 olan bir üçgenin alanı ½ × 4 × 3 = 6 kare birimdir.
Bir yamuğun alanı nasıl bulunur?
Bir yamuğun alanı, iki paralel kenarının toplamının yarısının, aralarındaki dik yükseklikle çarpılmasına eşittir: A = ½ × (a + b) × yükseklik. Paralel kenarları 3 ve 5, yüksekliği 4 olduğunda alan ½ × (3 + 5) × 4 = 16 kare birimdir.
Bir düzgün çokgenin alanı nedir?
Bir düzgün çokgenin alanı n × s² ÷ (4 × tan(π/n))'e eşittir; burada n kenar sayısı, s ise kenar uzunluğudur. Kenar uzunluğu 4 olan düzgün bir altıgenin (n = 6) alanı (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41,5692 kare birimdir.
Bir elipsin alanı nasıl hesaplanır?
Bir elipsin alanı, π çarpı iki yarı eksenine eşittir: A = π × a × b; burada a ve b sırasıyla büyük ve küçük yarı eksen uzunluklarıdır. Yarı eksenleri 3 ve 5 olan bir elipsin alanı π × 3 × 5 ≈ 47,1239 kare birimdir.
Bir daire diliminin alanı nedir?
Bir dilimin alanı, yarıçapın karesinin yarısının, merkez açının radyan cinsinden değeriyle çarpılmasına eşittir: A = ½r²θ. Yarıçapı 5 ve merkez açısı 60° (θ = π/3 radyan) olan bir dilimin alanı ½ × 25 × (π/3) ≈ 13,0900 kare birimdir.
Hesaplayıcı alanla birlikte çevreyi de veriyor mu?
Evet, verilen girdilerden çevrenin iyi tanımlandığı şekiller için — dikdörtgen, elips, düzgün çokgen ve dilim — hesaplayıcı çevreyi de döndürür (daire için çevre uzunluğunu, dilim için ise yay uzunluğunu).
Kaynaklar
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).