Katı cisme göre hacim ve yüzey alanı formülleri
Aşağıdaki tablo, her katı cisim için kullanılan hacim ve yüzey alanı formülünü özetler.
| Katı cisim | Hacim formülü | Yüzey alanı formülü |
|---|---|---|
| Küre | V = (4/3)πr³ | YA = 4πr² |
| Küp | V = s³ | YA = 6s² |
| Dikdörtgenler prizması | V = lwh | YA = 2(lw + lh + wh) |
| Silindir | V = πr²h | YA = 2πr² + 2πrh |
| Koni | V = (1/3)πr²h | YA = πr² + πr·eğik yükseklik |
| Kare piramit | V = (1/3)l²h | YA = l² + 2l·eğik yükseklik |
| Yarım küre | V = (2/3)πr³ | YA = 3πr² |
| Kesik koni | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | YA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·eğik yükseklik |
- Koni, piramit ve kesik koni için yüzey alanı formülü, yarıçap/kenar ve yükseklikten Pisagor teoremiyle dahili olarak türetilen eğik yüksekliği (veya eğik kenarı) kullanır — bu, girilen dikey yükseklikle aynı değildir.
- Buradaki "yüzey alanı", taban(lar) dahil toplam yüzey alanı anlamına gelir; yalnızca yan yüzeyi kapsayan yanal yüzey alanı değildir — bu ayrım için özel yüzey alanı hesaplayıcısına bakın.
- Tüm formüller dik (eğik olmayan) katı cisimler varsayar: tepe noktası veya üst yüzey, tabanın merkezinin tam üzerinde yer alır.
Hacim nedir?
Hacim, bir katı cismin çevrelediği üç boyutlu uzayın miktarıdır ve küp birimlerle (örneğin metreküp veya fitküp) ölçülür. Her düzgün katı cismin, hacmi bir kürenin yarıçapı veya bir kutunun uzunluğu, genişliği ve yüksekliği gibi tanımlayıcı boyutlarıyla ilişkilendiren kapalı form bir formülü vardır.
Buradaki her katı cisim için hacimle birlikte gösterilen yüzey alanı, tüm dış yüzlerin veya eğik yüzeylerin toplam alanıdır. Kare birimler kullanır ve hacimden ayrı bir formülle hesaplanır — ikisi farklı fiziksel özellikleri tanımlar ve birbirinin yerine kullanılamaz.
Bu hacim hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Ölçmek istediğiniz katı cismi katı cisim açılır menüsünden seçin.
- İstenen boyutları girin — örneğin bir küre için yarıçap, ya da bir kutu için uzunluk, genişlik ve yükseklik.
- Bir kesik koni için alt yarıçapı, üst yarıçapı (radius2) ve iki dairesel yüzey arasındaki dik yüksekliği girin.
- Bir kare piramit için taban kenar uzunluğunu "uzunluk" olarak ve tabandan tepe noktasına olan dik yüksekliği girin.
- Boyutları değiştirdikçe anında güncellenen hacmi ve yüzey alanını okuyun.
Her katı cismin hacminin arkasındaki formül
Her katı cismin hacim formülü kalkülüsten türetilir (kesit alanının katı cismin yüksekliği veya yarıçapı boyunca integrallenmesi), ancak bu standart şekiller için basit, kapalı form bir ifadeye indirgenir.
Sık yapılan hatalar
- Yarıçap yerine çap girmek: bir küre veya yarım küre için bu, hacmi 8 kat büyük gösterir; bir silindir veya koni için ise 4 kat büyük gösterir, çünkü bunların hacmi r³ değil r²'ye bağlıdır.
- Küpün kenar uzunluğunu, bir kutunun birbirinden bağımsız uzunluk, genişlik ve yüksekliğiyle karıştırmak.
- Bir kesik koni için, hangi yüzeyin hangisi olduğunu fark etmeden üst yarıçapı (radius2) alt yarıçaptan büyük girmek — formül simetriktir, ancak etiketleme yönelimi belirler.
- Birimleri karıştırmak, örneğin yüksekliği fit cinsinden girerken yarıçapı inç cinsinden girmek — bu, hatalı bir sonuç üretir.
- Hacmin ve yüzey alanının aynı şekilde ölçeklendiğini varsaymak — bir kürenin yarıçapını iki katına çıkarmak hacmi 8 katına çıkarırken yüzey alanını yalnızca 4 katına çıkarır.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir kürenin hacmi nasıl bulunur?
Bir kürenin hacmi, (4/3) × π × yarıçap³'e eşittir. Yarıçapı 3 olan bir kürenin hacmi (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 küp birimdir.
Bir silindirin hacmi nedir?
Bir silindirin hacmi, π × yarıçap² × yüksekliğe eşittir. Yarıçapı 3 ve yüksekliği 5 olan bir silindirin hacmi π × 9 × 5 ≈ 141,3717 küp birimdir.
Bir koninin hacmi nasıl hesaplanır?
Bir koninin hacmi, π × yarıçap² × yüksekliğin üçte biridir. Yarıçapı 3 ve yüksekliği 5 olan bir koninin hacmi (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 küp birimdir — aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip bir silindirin hacminin tam olarak üçte biri.
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi nedir?
Bir kutunun hacmi, uzunluk × genişlik × yüksekliğe eşittir. 4 × 3 × 5 ölçülerindeki bir kutunun hacmi 4 × 3 × 5 = 60 küp birimdir.
Bir kesik koninin hacmi nasıl bulunur?
Bir kesik koninin hacmi, (1/3) × π × yükseklik × (r₁² + r₁r₂ + r₂²)'ye eşittir; burada r₁ ve r₂ iki dairesel yüzeyin yarıçaplarıdır. Alt yarıçapı 3, üst yarıçapı 2 ve yüksekliği 5 olan bir kesik koninin hacmi (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 küp birimdir.
Hesaplayıcı neden yüzey alanını da gösteriyor?
Hacim ve yüzey alanı, bir katı cismin her ikisi de standart tanımlayıcılarıdır ve genellikle birlikte gerekir — örneğin kapasite için hacim, malzeme veya kaplama gereksinimleri için yüzey alanı — bu yüzden ikisi de girilen aynı boyutlardan hesaplanır.
Bir küre ile yarım küre formülü arasındaki fark nedir?
Bir yarım küre, hacim bakımından tam olarak bir kürenin yarısıdır: V = (2/3)πr³, tam bir küre için ise (4/3)πr³. Yüzey alanı ise kürenin yüzey alanının basitçe yarısı değildir, çünkü düz dairesel tabanı da içerir: YA = 3πr² (2πr² eğri + πr² düz), tam bir küre için 4πr² ile karşılaştırıldığında.
Kaynaklar
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).