Aynı açıyı ölçmenin iki yolu
Derece, bir çember çevresindeki tam dönüşü 360 eşit parçaya böler; bu gelenek antik Babil astronomisine ve onun 60 tabanlı sayı sistemine dayanır. Dik açı 90 derece, doğru açı 180 derece, tam dönüş ise 360 derecedir.
Radyan ise açıyı, çember üzerinde ayırdığı yay uzunluğunun o çemberin yarıçapına oranıyla ölçer: 1 radyanlık açı, yay uzunluğunun tam olarak yarıçapa eşit olduğu açıdır. Bir çemberin tam çevresi 2 x pi x yarıçap olduğundan tam dönüş, çemberin gerçek büyüklüğünden bağımsız olarak tam 2 x pi radyandır -- yaklaşık 6,2832 radyan. Radyan iki uzunluğun oranı olduğundan kendine ait bir birimi yoktur.
Radyan kalkülüs için neden doğal birimdir
Radyan, 360 gibi keyfî bir bölmeden değil, doğrudan çemberin kendi geometrisinden (yay uzunluğu bölü yarıçap) tanımlanır; bu nedenle radyanla yazılan formüller daha yalın çıkma eğilimindedir. Örneğin yay uzunluğu formülü, theta radyan cinsindense yalnızca s = r x theta olur ve fazladan bir dönüşüm sabitine gerek kalmaz; aynı formül derece cinsinden yazıldığında ise ek bir pi/180 çarpanı gerektirir.
Bu yalınlık kalkülüste zorunlu hâle gelir: sin(x) fonksiyonunun türevi tam olarak cos(x) ise, ancak x radyan cinsinden ölçüldüğünde geçerlidir. x derece cinsinden ölçülseydi türev fazladan bir pi/180 sabiti kazanırdı; çünkü derece tabanlı sinüs fonksiyonu, radyan tabanlı fonksiyon cinsinden aslında sin(x x pi/180) demektir. Bu ek sabit, trigonometrik fonksiyon içeren her türevi, integrali ve seri açılımını karmaşıklaştırdığından matematikçiler ile bilim insanları kalkülüs ve yüksek matematik boyunca radyanı varsayılan kabul eder; dereceyi ise daha çok seyrüsefer, harita ölçümü ve inşaat gibi günlük ve uygulamalı bağlamlara bırakır.
Derece ile radyan arasında dönüşüm
Tam bir dönüş hem 360 dereceye hem de 2 x pi radyana eşit olduğundan iki birim sabit bir oranla bağlıdır: dereceyi radyana çevirmek için pi/180 ile, radyanı dereceye çevirmek için 180/pi ile çarpın. Aşağıdaki tablo, trigonometride en sık kullanılan açılar için doğrulanmış dönüşümleri listeler.
| Derece | Radyan (tam, pi cinsinden) | Radyan (ondalık) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | pi/6 | 0,5236 |
| 45° | pi/4 | 0,7854 |
| 60° | pi/3 | 1,0472 |
| 90° | pi/2 | 1,5708 |
| 180° | pi | 3,1416 |
| 270° | 3pi/2 | 4,7124 |
| 360° | 2pi | 6,2832 |
Klasik hesap makinesi modu hatası
Trigonometrideki en yaygın hata, açıyı bir birimde girerken hesap makinesinin ya da programın onu diğer birimde yorumlayacak şekilde ayarlı olmasıdır; çünkü hem derece hem radyan düz sayısal girdi kabul eder ve yanlış mod seçildiğinde ikisi de hata mesajı vermez -- yalnızca doğru sonuç önceden bilinmiyorsa fark edilmesi güç, yanlış görünümlü bir cevap üretir.
Örneğin sin(30) ifadesi, etkin moda göre bambaşka sonuçlar verir: hesap makinesi derece modundayken sin(30 derece) tam olarak 0,5'tir. Aynı makine yanlışlıkla radyan modunda bırakılırsa sin(30 radyan) bunun yerine yaklaşık -0,9880 olur -- işareti yanlış, büyüklüğü ise fena hâlde farklı bir değer; üstelik tuş vuruşları birebir aynıdır. 30 radyan kabaca 1.718,9 dereceye karşılık geldiğinden (amaçlanan 30 derecelik açının çok ötesinde, birçok tam dönüş kadar ileride), iki sonuç esasen birbiriyle ilgisiz açıları anlatır.
Hangi birimi ne zaman kullanmalı
Sayının kendisinin insan tarafından okunabilir ve sezgisel olması gereken günlük ve uygulamalı kullanımlarda standart hâlâ derecedir -- seyrüsefer rotaları, inşaat açıları, coğrafi koordinatlar ve çoğu tüketici hesap makinesi bu yüzden dereceyi varsayılan alır. Radyan ise kalkülüs, fizik, mühendislik ile türev, integral veya trigonometrik seri içeren her bağlamda standarttır; çünkü temeldeki formüller radyanda hem daha yalın hem de boyut bakımından daha temizdir.
Bağlamlar arasında geçiş yaparken -- örneğin teknik bir çizimden alınan derece cinsinden bir açıyı kalkülüs temelli bir fizik formülünde kullanırken -- işleme başlamadan önce pi/180 ya da 180/pi çarpanıyla açıkça dönüşüm yapmak yukarıda anlatılan mod uyuşmazlığı hatasını önler; bu, bir formülün ya da programlama fonksiyonunun varsayılan açı birimini belgelerine bakmadan varsaymaktan çok daha güvenlidir.
Sıkça Sorulan Sorular
Dereceyi radyana nasıl çeviririm?
Derece cinsinden açıyı pi/180 ile çarpın. Örneğin 60 derece x pi/180 = pi/3 radyan olur, bu da yaklaşık 1,0472 radyandır.
Radyanı dereceye nasıl çeviririm?
Radyan cinsinden açıyı 180/pi ile çarpın. Örneğin pi/4 radyan x 180/pi = tam olarak 45 derecedir.
Kalkülüs neden derece yerine radyan kullanır?
Radyan doğrudan çemberin kendi geometrisinden (yay uzunluğu bölü yarıçap) tanımlandığı için trigonometrik fonksiyon içeren formüller radyanda daha yalın çıkar -- en önemlisi, sin(x) fonksiyonunun türevi tam olarak cos(x) ise ancak x radyan cinsindense geçerlidir. Derecede aynı türev fazladan bir pi/180 sabiti kazanır ve bu da ardından gelen her türevi, integrali ve seri açılımını karmaşıklaştırır.
Hesap makinesi yanlış açı modunda bırakılırsa ne olur?
Sonuç sayısal olarak geçerli görünür ama bambaşka bir açıyı anlatır. Örneğin sin(30 derece) tam olarak 0,5 iken sin(30 radyan) yaklaşık -0,9880'dir; çünkü 30 radyan kabaca 1.718,9 dereceye karşılık gelir -- amaçlanan 30 derecelik açının çok ötesinde, birçok tam dönüş kadar ileride.
pi radyan 180 dereceye eşit midir?
Evet. Tam bir dönüş hem 360 dereceye hem de 2 x pi radyana eşittir; dolayısıyla yarım dönüş -- yani doğru açı -- hem 180 dereceye hem de tam olarak pi radyana (yaklaşık 3,1416 radyan) eşittir.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Radian" and "Degree." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (radian measure and derivatives of trigonometric functions).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (degree-radian conversion and angle measurement conventions).