В чём состоит теорема Пифагора
В любом прямоугольном треугольнике -- треугольнике, содержащем ровно один угол в 90 градусов, -- квадрат длины гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) равен сумме квадратов длин двух других сторон, называемых катетами. В виде формулы: a^2 + b^2 = c^2, где a и b -- катеты, а c -- гипотенуза. Эта зависимость названа в честь древнегреческого математика Пифагора, хотя есть свидетельства, что та же числовая закономерность была известна и применялась независимо от какого-либо формального доказательства вавилонскими и другими древними математиками задолго до Пифагора.
Теорема применима только к прямоугольным треугольникам на плоскости (евклидовой геометрии). Она не выполняется для треугольников без прямого угла -- для них требуется более общая теорема косинусов -- и не выполняется точно для треугольников, начерченных на искривлённой поверхности, например на сфере, где сама геометрия иная.
Почему это работает: классическое доказательство перестановкой
Одна из самых известных демонстраций теоремы, часто называемая доказательством перестановкой, использует четыре одинаковые копии одного и того же прямоугольного треугольника (с катетами a и b и гипотенузой c), расположенные внутри одного большого квадрата со стороной (a + b). При одном способе расположения четыре треугольника окружают меньший, повёрнутый внутренний квадрат со стороной c, поэтому площадь большого квадрата раскладывается на четыре треугольника плюс этот внутренний квадрат: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, что упрощается до (a + b)^2 = 2ab + c^2.
Раскрывая левую часть алгебраически, получаем (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Приравнивая два выражения для площади одного и того же квадрата: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Вычитая 2ab из обеих частей, получаем a^2 + b^2 = c^2 -- теорему Пифагора, выведенную исключительно путём сравнения двух способов вычисления площади одного и того же квадрата. Это доказательство -- лишь одно из сотен, опубликованных за прошедшие века; сборник Элиши Лумиса «The Pythagorean Proposition» насчитывает 367 различных доказательств теоремы.
Пифагоровы тройки: 3-4-5 и другие
Пифагорова тройка -- это набор из трёх натуральных чисел a, b и c, точно удовлетворяющих a^2 + b^2 = c^2, что означает, что существует прямоугольный треугольник с такими тремя целочисленными длинами сторон без какого-либо округления. Самая маленькая и наиболее известная тройка -- 3-4-5, поскольку 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Любое целочисленное кратное известной тройки также является допустимой тройкой -- например, удвоение 3-4-5 даёт 6-8-10, а утроение -- 9-12-15, и оба этих набора также удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2. Тройки, не являющиеся кратными меньшей тройки, такие как 3-4-5, 5-12-13 и 8-15-17 ниже, называются примитивными пифагоровыми тройками.
| Катет a | Катет b | Гипотенуза c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Практическое применение: диагонали и расстояния
Поскольку диагональ прямоугольника вместе с двумя прилегающими сторонами образует прямоугольный треугольник, теорема Пифагора напрямую даёт длину диагонали: диагональ = квадратный корень из (длина^2 + ширина^2). Прямоугольник размером 6 на 8 единиц имеет диагональ, равную квадратному корню из (6^2 + 8^2) = квадратный корень из (36 + 64) = квадратный корень из 100 = ровно 10 единиц -- тройка 6-8-10, кратная 3-4-5.
Тот же принцип, распространённый на три измерения, даёт пространственную диагональ прямоугольного параллелепипеда, которая находится путём двукратного применения теоремы: сначала для диагонали основания, а затем при объединении этой диагонали с высотой параллелепипеда. Параллелепипед размером 12 на 9 на 8 единиц имеет пространственную диагональ, равную квадратному корню из (12^2 + 9^2 + 8^2) = квадратный корень из (144 + 81 + 64) = квадратный корень из 289 = ровно 17 единиц. Формула расстояния между координатами, используемая для нахождения прямого расстояния между двумя точками, d = квадратный корень из ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), -- это та же теорема, применённая непосредственно к горизонтальной и вертикальной разности между двумя точками: для точек (1,2) и (4,6) расстояние равно квадратному корню из (3^2 + 4^2) = квадратный корень из 25 = 5.
Обратная теорема: проверка прямого угла с помощью 3-4-5
Обратная теорема Пифагора тоже верна и часто применяется на практике: если три измеренные длины сторон удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, то образованный ими треугольник обязательно содержит прямой угол, противолежащий самой длинной стороне, даже если этот угол никогда не измерялся напрямую. Эта обратная теорема лежит в основе традиционного метода 3-4-5, используемого в строительстве и столярном деле для проверки или разметки прямого (90-градусного) угла: отмерив 3 единицы вдоль одного края, 4 единицы вдоль перпендикулярного края и убедившись, что диагональ между этими двумя отмеченными точками равна ровно 5 единицам, можно подтвердить, что угол действительно прямой.
Это работает потому, что обратная теорема гарантирует однозначный результат: три положительные длины, удовлетворяющие a^2 + b^2 = c^2, могут образовывать только прямоугольный треугольник, никогда острый или тупой, причём прямой угол находится напротив самой длинной стороны, c. Любое кратное тройки 3-4-5 -- например, 6-8-10 или 9-12-15-- работает точно так же для проверки углов большего размера.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула теоремы Пифагора?
a^2 + b^2 = c^2, где a и b -- катеты прямоугольного треугольника, а c -- гипотенуза, сторона, противолежащая прямому углу. Она применима только к прямоугольным треугольникам на плоскости.
Как доказать теорему Пифагора?
Один из классических методов, доказательство перестановкой, располагает четыре одинаковых прямоугольных треугольника внутри квадрата со стороной (a + b) так, чтобы общую площадь можно было вычислить двумя разными способами -- один раз как (a + b)^2, и один раз как четыре треугольника плюс повёрнутый внутренний квадрат площадью c^2. Приравнивание этих двух выражений площади и алгебраическое упрощение дают a^2 + b^2 = c^2. Опубликованы также сотни альтернативных доказательств, включая сборник Элиши Лумиса, документирующий 367 из них.
Что такое пифагорова тройка и какая из них наименьшая?
Пифагорова тройка -- это набор из трёх натуральных чисел a, b и c, точно удовлетворяющих a^2 + b^2 = c^2. Наименьшая и самая распространённая тройка -- 3-4-5, поскольку 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. К другим распространённым тройкам относятся 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 и 9-40-41.
Как теорема Пифагора используется для нахождения диагонали прямоугольника?
Диагональ прямоугольника образует гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат длина и ширина прямоугольника, поэтому диагональ = квадратный корень из (длина^2 + ширина^2). Прямоугольник размером 6 на 8 имеет диагональ, равную квадратному корню из (36 + 64) = квадратный корень из 100 = ровно 10 единиц.
Работает ли теорема Пифагора на искривлённых поверхностях?
Нет. Теорема точно выполняется только для прямоугольных треугольников, начерченных на плоскости (в евклидовой геометрии). На искривлённой поверхности, например на поверхности сферы, соотношения между углами и длинами сторон подчиняются другой, неевклидовой геометрии, и a^2 + b^2 = c^2 перестаёт точно выполняться для треугольника с углом 90 градусов.
Как строители используют правило 3-4-5 для проверки прямого угла?
Согласно обратной теореме Пифагора, если три измеренные длины удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, угол, противолежащий самой длинной из них, обязательно равен ровно 90 градусам. Отмерив 3 единицы вдоль одного края и 4 единицы вдоль перпендикулярного края, а затем убедившись, что расстояние между этими двумя точками равно ровно 5 единицам, можно проверить истинно прямой угол -- метод, широко применяемый в строительстве и столярном деле.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).