Как понимать результат
Часто встречающимся конечным десятичным дробям соответствуют простые обыкновенные дроби, которые стоит запомнить. В таблице ниже собраны наиболее употребительные соответствия.
| Десятичная дробь | Обыкновенная дробь | Проценты |
|---|---|---|
| 0,5 | 1/2 | 50% |
| 0,25 | 1/4 | 25% |
| 0,75 | 3/4 | 75% |
| 0,2 | 1/5 | 20% |
| 0,125 | 1/8 | 12,5% |
| 0,625 | 5/8 | 62,5% |
| 0,0625 | 1/16 | 6,25% |
- Десятичная запись конечна тогда и только тогда, когда у несократимой дроби знаменатель имеет среди простых делителей лишь 2 и 5. Именно поэтому 1/3, 1/6 и 1/7 дают периодические дроби.
- Периодическую дробь нельзя ввести точно: 0,333333 переводится в 333333/1000000, а не в 1/3. Для периодических дробей применяйте алгебраический приём (пусть x = 0,333..., тогда 10x - x = 3, откуда x = 1/3).
- Калькулятор принимает до девяти знаков после запятой; за этим пределом точность перевода ограничена представлением чисел с плавающей точкой.
Что такое перевод десятичной дроби в обыкновенную?
Конечная десятичная дробь — это число, запись которого обрывается после конечного количества знаков после запятой, например 0,625 или 0,32. Любую такую дробь можно записать точно в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени десяти: цифры после запятой образуют числитель, а знаменатель равен 10 в степени, равной количеству знаков после запятой. У числа 0,625 три знака после запятой, поэтому оно равно 625/1000.
Полученную дробь затем приводят к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Для 625/1000 НОД равен 125, что даёт 5/8. Дробь из целых чисел называют рациональным числом, и любая конечная десятичная дробь рациональна.
Периодические дроби, такие как 0,333... (что в точности равно 1/3), тоже представляют рациональные числа, однако для них нужен другой, алгебраический приём, и их нельзя ввести точно в виде конечной десятичной записи. Ввод 0,333333 переведёт именно это шестизначное десятичное число (333333/1000000), а не 1/3. Калькулятор работает с конечными десятичными дробями, содержащими до девяти знаков после запятой.
Как пользоваться этим калькулятором
- Введите десятичное значение, которое нужно перевести, например 0,625 или 2,5. Отрицательные значения поддерживаются.
- Посмотрите несократимую обыкновенную дробь. Для отрицательных значений знак относится к числителю.
- Посмотрите эквивалент в процентах — это десятичное значение, умноженное на 100.
- Чтобы проверить вручную, запишите цифры после запятой над соответствующей степенью десяти и разделите оба числа на их наибольший общий делитель.
Разрядный метод перевода
Посчитайте количество знаков после запятой (обозначим его k). Умножьте десятичную дробь на 10^k, чтобы получить целый числитель, а знаменателем возьмите 10^k. Затем разделите оба числа на наибольший общий делитель, чтобы получить несократимый вид.
Разбор примера: 0,625. Здесь k = 3 знака после запятой, поэтому 0,625 = 625/1000. НОД чисел 625 и 1000 равен 125. Делим оба: 625/125 = 5 и 1000/125 = 8, значит 0,625 = 5/8. В процентах: 0,625 x 100 = 62,5%.
Второй пример: 0,32 = 32/100. НОД чисел 32 и 100 равен 4, поэтому 0,32 = 8/25 = 32%.
Десятичные числа больше 1 переводятся так же: 2,5 = 25/10 = 5/2, что можно записать и смешанным числом 2 1/2.
Типичные ошибки
- Ожидание, что 0,33 или 0,333333 перейдёт в 1/3 — числу 1/3 равна только бесконечная периодическая дробь 0,333...; любая конечная запись даёт другую, но точную дробь.
- Неверная степень десяти: 0.625 — это 625/1000 (три знака), а не 625/100.
- Забытое сокращение: 625/1000 и 5/8 равны, но общепринятым ответом считается несократимый вид.
- Потеря знака у отрицательных дробей — минус относится к числителю получившейся дроби.
Часто задаваемые вопросы
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Запишите цифры после запятой числителем над 10 в степени, равной количеству знаков после запятой, а затем сократите на наибольший общий делитель. Например, 0.625 = 625/1000; НОД чисел 625 и 1000 равен 125, поэтому 0.625 = 5/8.
Чему равно 0.625 в виде обыкновенной дроби?
0,625 равно 5/8. Ход перевода: у 0,625 три знака после запятой, значит это 625/1000. Разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 125, получаем 5/8. В процентах 0,625 составляет 62,5%.
Любую ли десятичную дробь можно записать обыкновенной?
Любую конечную и любую периодическую десятичную дробь можно точно записать отношением целых чисел — это и есть рациональные числа. У иррациональных чисел, таких как число пи (3,14159...) или корень из 2, десятичная запись не обрывается и не становится периодической, поэтому точно записать их отношением целых чисел невозможно.
Как перевести периодическую дробь вроде 0.333... в обыкновенную?
Здесь используют алгебру, а не разряды. Пусть x = 0,333...; умножение на 10 даёт 10x = 3,333...; вычитая первое равенство из второго, получаем 9x = 3, откуда x = 3/9 = 1/3. Конечная запись вроде 0,333333 — это другое число, и оно переводится в 333333/1000000.
Как перевести десятичное число больше 1?
Работает тот же разрядный метод. Например, 2,5 = 25/10 = 5/2 после деления на НОД, равный 5. Неправильную дробь 5/2 можно записать и смешанным числом 2 1/2 — это одно и то же значение.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.