Lei dos cossenos × teorema de Pitágoras
A tabela abaixo mostra como a lei dos cossenos se comporta conforme o ângulo compreendido muda, com o teorema de Pitágoras como caso especial em 90°.
| Ângulo C | cos C | Efeito sobre c² |
|---|---|---|
| 90° (ângulo reto) | 0 | c² = a² + b² (exatamente o teorema de Pitágoras) |
| < 90° (agudo) | positivo | c² < a² + b² (c é menor que no caso do ângulo reto) |
| > 90° (obtuso) | negativo | c² > a² + b² (c é maior que no caso do ângulo reto) |
- A lei dos cossenos funciona para qualquer triângulo, e não apenas para os retângulos — ela é o caso geral, tendo o teorema de Pitágoras como seu caso particular em 90°.
- O ângulo C precisa ficar estritamente entre 0° e 180°; em qualquer um desses limites, os três pontos ficam colineares e não existe triângulo.
O que é a lei dos cossenos?
A lei dos cossenos relaciona os três lados de um triângulo ao cosseno de um de seus ângulos: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Ela generaliza o teorema de Pitágoras — quando o ângulo C vale exatamente 90°, cos C = 0 e a fórmula se reduz a c² = a² + b², a conhecida relação pitagórica.
Dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles (o caso LAL usado aqui), a lei dos cossenos encontra o terceiro lado diretamente; a mesma fórmula, rearranjada, recupera então os dois ângulos restantes.
Como usar esta calculadora da lei dos cossenos
- Informe o lado a e o lado b, os dois lados conhecidos.
- Informe o ângulo C, o ângulo compreendido entre os lados a e b, estritamente entre 0° e 180°.
- Leia o lado c (o lado que falta), os ângulos A e B, e a área do triângulo.
A fórmula da lei dos cossenos
A mesma relação básica é rearranjada para resolver um lado ou, uma vez conhecidos os três lados, para resolver um ângulo.
Erros comuns
- Informar um ângulo que não está de fato compreendido entre os lados a e b — a lei dos cossenos exige o ângulo entre eles no caso LAL.
- Esquecer o sinal de menos em c² = a² + b² − 2ab·cos C, fácil de perder quando o ângulo é agudo e cos C é positivo.
- Usar a lei dos cossenos para encontrar um lado que falta quando se conhecem apenas dois ângulos e um lado — esse caso pede a lei dos senos.
- Informar o ângulo C em radianos em vez dos graus esperados.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da lei dos cossenos?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, em que C é o ângulo compreendido entre os lados a e b, e c é o lado oposto ao ângulo C.
Como se encontra um lado que falta pela lei dos cossenos?
Extraia a raiz quadrada depois de aplicar a fórmula: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Para a = 5, b = 7 e C = 49°, c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Como se encontra um ângulo pela lei dos cossenos?
Rearranje a fórmula para isolar o cosseno e depois aplique o arco-cosseno: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Para a = 5, b = 7 e c ≈ 5,2987, o ângulo A ≈ 45,4117°.
Qual é a relação entre a lei dos cossenos e o teorema de Pitágoras?
Quando o ângulo compreendido C vale exatamente 90°, cos C = 0, e a lei dos cossenos c² = a² + b² − 2ab·cos C se reduz exatamente ao teorema de Pitágoras, c² = a² + b².
Quando usar a lei dos cossenos em vez da lei dos senos?
Use a lei dos cossenos quando conhecer os três lados (LLL) ou dois lados e o ângulo entre eles (LAL) — casos que a lei dos senos não resolve diretamente. Use a lei dos senos quando conhecer dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo não compreendido entre eles.
Qual é a área de um triângulo de lados 5 e 7 com ângulo de 49° entre eles?
Área = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 unidades quadradas.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).