Duas leis, dois conjuntos diferentes de valores conhecidos
Todo triângulo que não é retângulo -- chamado de triângulo oblíquo -- pode ser totalmente resolvido a partir de três medidas conhecidas, mas a fórmula aplicável depende exatamente de quais três medidas são conhecidas. A lei dos senos e a lei dos cossenos são as duas ferramentas de uso geral para isso, e cada uma é adequada a uma combinação diferente de dados conhecidos.
| Valores conhecidos | Método | Observações |
|---|---|---|
| Dois ângulos + qualquer lado (AAL ou ALA) | Lei dos senos | Sempre exatamente uma solução |
| Dois lados + ângulo incluído (LAL) | Lei dos cossenos | Sempre exatamente uma solução |
| Três lados (LLL) | Lei dos cossenos | Sempre exatamente uma solução (se a desigualdade triangular for satisfeita) |
| Dois lados + ângulo não incluído (LLA) | Lei dos senos, com cuidado | Zero, uma ou duas soluções possíveis -- o caso ambíguo |
A lei dos senos: dois ângulos e um lado (AAL/ALA)
A lei dos senos afirma que, em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo diretamente oposto a ele é a mesma para os três lados: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Dados dois ângulos e qualquer um dos lados, o terceiro ângulo segue imediatamente do fato de que os ângulos de um triângulo somam 180 graus, e os dois lados restantes seguem diretamente da razão.
Exemplo resolvido: ângulo A = 40 graus, lado a = 15 (oposto ao ângulo A), e ângulo B = 60 graus. Passo 1: ângulo C = 180 - 40 - 60 = 80 graus. Passo 2: lado b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 graus) / sin 40 graus = (15 x 0,8660) / 0,6428, aproximadamente 20,2094. Passo 3: lado c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 graus) / sin 40 graus, aproximadamente 22,9813. A área do triângulo, usando 1/2 x a x b x sin C, é aproximadamente 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 graus), aproximadamente 149,2681 unidades quadradas.
A lei dos cossenos: dois lados e o ângulo incluído (LAL), ou três lados (LLL)
A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para triângulos sem ângulo reto: c² = a² + b² - 2ab x cos(C), em que C é o ângulo incluído entre os lados a e b. Quando C é exatamente 90 graus, cos(C) = 0 e a fórmula se reduz exatamente ao teorema de Pitágoras, a² + b² = c².
Exemplo resolvido: lados a = 8 e b = 11, com ângulo incluído de C = 37 graus. Passo 1: c² = 8² + 11² - 2 x 8 x 11 x cos(37 graus) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, aproximadamente 185 - 140,55 = 44,45, então c é aproximadamente 6,6663. Passo 2: com os três lados conhecidos, os ângulos restantes seguem da fórmula rearranjada, cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc), dando ângulo A aproximadamente 46,2375 graus e ângulo B aproximadamente 96,7625 graus (somando com C = 37 graus para totalizar 180 graus, como exigido). A área, 1/2 x a x b x sin(C), é aproximadamente 1/2 x 8 x 11 x sin(37 graus), aproximadamente 26,4799 unidades quadradas.
O caso ambíguo LLA, explicado com honestidade
Quando dois lados e um ângulo não incluído são conhecidos (LLA) -- por exemplo, lado a, lado b e ângulo A, em que A não é o ângulo entre a e b -- a lei dos senos ainda pode ser aplicada, mas o número de triângulos válidos que satisfazem as medidas dadas nem sempre é um. Dependendo dos valores específicos, pode haver zero triângulos (o ângulo e os lados dados não conseguem formar um triângulo fechado), exatamente um triângulo, ou exatamente dois triângulos distintos, ambos válidos.
O fator decisivo é a altura h = b x sin(A), comparada ao lado a. Se a for menor que h, nenhum triângulo existe. Se a for igual a h, existe exatamente um triângulo, com ângulo reto no vértice oposto ao lado a. Se h for menor que a e a for menor que b, existem dois triângulos distintos. Se a for maior ou igual a b, existe exatamente um triângulo.
Exemplo resolvido do caso ambíguo: lado a = 20, lado b = 25, ângulo A = 40 graus. Aqui h = 25 x sin(40 graus), aproximadamente 16,0697, e como 16,0697 é menor que 20 e 20 é menor que 25, dois triângulos distintos satisfazem essas medidas. Resolvendo ambos: o primeiro tem ângulo B aproximadamente 53,4641 graus, ângulo C aproximadamente 86,5359 graus e lado c aproximadamente 31,0576; o segundo tem ângulo B aproximadamente 126,5359 graus, ângulo C aproximadamente 13,4641 graus e lado c aproximadamente 7,2446. Os dois triângulos usam os mesmos valores iniciais de a = 20, b = 25 e A = 40 graus, mas descrevem duas formas genuinamente diferentes -- motivo exato pelo qual o caso LLA é chamado de ambíguo, e por que ele exige essa verificação extra que AAL, ALA e LAL não exigem.
Escolhendo a fórmula certa na prática
Em áreas como topografia, navegação e engenharia, a orientação prática é identificar quais três medidas estão realmente disponíveis antes de escolher uma fórmula, em vez de recorrer a uma lei por hábito. Se dois ângulos forem medidos (comum ao triangular a partir de dois pontos fixos de observação), a lei dos senos se aplica direta e inequivocamente. Se duas distâncias e o ângulo entre elas forem medidos (comum quando dois lados são demarcados a partir de um único vértice), a lei dos cossenos se aplica direta e inequivocamente.
O caso LLA surge com mais frequência do que se poderia imaginar -- por exemplo, ao medir um lado conhecido, um segundo lado, e um ângulo que não está fisicamente entre eles -- e, como ele pode silenciosamente produzir duas respostas válidas, vale a pena verificar explicitamente a comparação entre a e h descrita acima sempre que LLA for a única combinação disponível, em vez de presumir que o primeiro triângulo calculado é o único que se ajusta aos dados.
Perguntas frequentes
Quando devo usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?
Use a lei dos senos quando dois ângulos e qualquer um dos lados forem conhecidos (AAL ou ALA), o que sempre tem exatamente uma solução, ou quando dois lados e um ângulo não incluído forem conhecidos (LLA), o que exige verificar o caso ambíguo. Use a lei dos cossenos quando dois lados e o ângulo incluído (LAL) ou os três lados (LLL) forem conhecidos.
O que é o caso ambíguo LLA?
LLA significa dois lados e um ângulo não incluído conhecidos. Dependendo dos valores específicos, essa combinação pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos, diferente de AAL, ALA ou LAL, que sempre produzem exatamente um. Por exemplo, com a = 20, b = 25 e ângulo A = 40 graus, dois triângulos distintos satisfazem as medidas dadas -- um com ângulo B aproximadamente 53,4641 graus, o outro com ângulo B aproximadamente 126,5359 graus.
Como encontrar um lado desconhecido usando a lei dos cossenos?
Aplique c² = a² + b² - 2ab x cos(C), em que C é o ângulo incluído entre os lados a e b, e depois extraia a raiz quadrada. Para a = 8, b = 11 e C = 37 graus, c² = 64 + 121 - 176 x cos(37 graus), aproximadamente 44,45, então c é aproximadamente 6,6663.
Como encontrar um lado desconhecido usando a lei dos senos?
Monte a razão a / sin(A) = b / sin(B) e resolva para o lado desconhecido. Para ângulo A = 40 graus, lado a = 15 e ângulo B = 60 graus, lado b = (15 x sin 60 graus) / sin 40 graus, aproximadamente 20,2094.
A lei dos cossenos consegue resolver um triângulo a partir apenas dos três lados (LLL)?
Sim. Com os três lados conhecidos, a lei dos cossenos é rearranjada para resolver cada ângulo: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc). A lei dos senos não pode ser usada para começar um problema LLL, porque exige pelo menos um ângulo conhecido para montar sua razão, o que LLL não fornece diretamente.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).