Sinais por quadrante e ângulos notáveis
Seno, cosseno e tangente têm um padrão de sinais fixo em cada um dos quatro quadrantes e assumem valores exatos nos ângulos de referência padrão abaixo.
| Quadrante | Faixa de ângulos | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | positivo | positivo | positivo |
| II | 90°–180° | positivo | negativo | negativo |
| III | 180°–270° | negativo | negativo | positivo |
| IV | 270°–360° | negativo | positivo | negativo |
- O ângulo de referência é sempre o ângulo agudo (0°–90°) entre o lado terminal e o eixo x; ele é combinado com o padrão de sinais do quadrante para obter os valores trigonométricos exatos de qualquer ângulo a partir dos valores padrão de 0°/30°/45°/60°/90°.
- A tangente é indefinida em 90° e em 270° (e em seus ângulos côngruos), já que o cosseno vale zero nesses ângulos.
- Ângulos maiores que 360° ou negativos são primeiro reduzidos a um ângulo côngruo dentro do intervalo de 0° a 360° antes de o quadrante e o ângulo de referência serem determinados.
O que é o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico (também chamado de círculo unitário) é um círculo de raio 1 centrado na origem de um plano cartesiano. Para qualquer ângulo θ medido no sentido anti-horário a partir do semieixo x positivo, o ponto em que o lado terminal do ângulo cruza o círculo tem coordenadas (cos θ, sin θ) — o que faz dele a base visual e computacional de todas as funções trigonométricas.
Como o raio do círculo é exatamente 1, os valores de seno e cosseno são lidos diretamente como coordenadas, sem nenhuma escala. Esta calculadora informa ainda o ângulo côngruo (o ângulo equivalente entre 0° e 360°), o quadrante em que o lado terminal cai e o ângulo de referência (o ângulo agudo até o eixo x mais próximo), que juntos explicam o sinal e a magnitude dos valores trigonométricos.
Como usar esta calculadora do círculo trigonométrico
- Informe o valor do ângulo.
- Selecione a unidade de ângulo: graus ou radianos.
- Leia o seno, o cosseno e a tangente do ângulo, além do quadrante, do ângulo de referência e do ângulo côngruo (o equivalente dentro de uma única volta de 0° a 360°).
As fórmulas do círculo trigonométrico
Como o círculo trigonométrico tem raio 1, as coordenadas (x, y) de um ponto são idênticas a (cos θ, sin θ) — não há escala adicional pelo raio, ao contrário do que ocorre num círculo qualquer.
Erros comuns
- Deixar a unidade de ângulo em radianos ao informar um valor em graus, ou o contrário, o que produz um resultado plausível na aparência, porém incorreto.
- Supor que o ângulo de referência é igual ao ângulo informado para ângulos fora do primeiro quadrante — o ângulo de referência é sempre medido a partir do eixo x mais próximo, e não a partir de 0°.
- Esperar um valor numérico de tangente em 90° ou 270°, ângulos em que ela é indefinida porque o cosseno vale zero.
- Esquecer que ângulos negativos e ângulos acima de 360° equivalem a um ângulo côngruo dentro de uma volta completa (0°–360°).
Perguntas frequentes
Quanto valem o seno e o cosseno de 225 graus?
Em 225°, sin(225°) = cos(225°) = −0,707107 (ambos iguais a −√2/2). Isso ocorre porque 225° fica no terceiro quadrante, em que o ângulo de referência é 45° (225° − 180°) e tanto o seno quanto o cosseno são negativos.
Em que quadrante fica o ângulo de 225 graus?
225° fica no terceiro quadrante (180°–270°), em que seno e cosseno são negativos e a tangente é positiva. Seu ângulo de referência é 225° − 180° = 45°.
O que é um ângulo de referência?
Um ângulo de referência é o ângulo agudo, sempre entre 0° e 90°, formado entre o lado terminal de um ângulo e o eixo x. Para um ângulo de 225°, o ângulo de referência é 45°, já que 225° está 45° além da marca de 180°.
O que é um ângulo côngruo?
Um ângulo côngruo é aquele que compartilha o mesmo lado terminal depois de reduzido ao intervalo de 0° a 360° (uma volta completa). Um ângulo de 585° tem como côngruo 585° − 360° = 225°, já que os dois apontam para a mesma posição no círculo.
Por que tan(90°) é indefinida no círculo trigonométrico?
A tangente é sin θ / cos θ e, em 90°, o ponto sobre o círculo trigonométrico é (0, 1), ou seja, cos(90°) = 0. A divisão por zero é indefinida, portanto a tangente não tem valor em 90° (nem em 270°, onde o cosseno também é zero).
Quais são os valores exatos de seno e cosseno em 30°, 45° e 60°?
sin(30°) = 0,5 e cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 e cos(60°) = 0,5. Esses são os valores do círculo trigonométrico mais memorizados, todos no primeiro quadrante.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).