Quando usar a lei dos senos
A lei dos senos se aplica diretamente a dois casos de resolução de triângulos; os demais exigem a lei dos cossenos.
| Valores conhecidos | Melhor método |
|---|---|
| Dois ângulos + qualquer lado (AAL ou ALA) | Lei dos senos — sem ambiguidade, solução única |
| Dois lados + ângulo não compreendido (LLA) | Lei dos senos, mas verifique o caso ambíguo (0, 1 ou 2 triângulos possíveis) |
| Três lados (LLL) | Lei dos cossenos |
| Dois lados + ângulo entre eles (LAL) | Lei dos cossenos |
- O modo de entrada AAL/ALA desta calculadora (dois ângulos e um lado) tem sempre exatamente uma solução válida, portanto o caso ambíguo LLA não aparece aqui.
- Os três ângulos de qualquer triângulo somam exatamente 180°; se os dois ângulos informados já totalizam 180° ou mais, não existe triângulo válido e a calculadora não devolve resultado.
O que é a lei dos senos?
A lei dos senos afirma que, em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante para os três lados: a / sin A = b / sin B = c / sin C. É isso que permite encontrar um lado ou um ângulo desconhecido sempre que houver informação suficiente.
Dados dois ângulos e o lado oposto a um deles (o caso AAL ou ALA usado aqui), o triângulo fica completa e inequivocamente determinado — ao contrário do caso LLA (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles), que pode gerar dois triângulos válidos, um só, ou nenhum, o chamado caso ambíguo.
Como usar esta calculadora da lei dos senos
- Informe o ângulo A e o comprimento do lado a, o lado oposto ao ângulo A.
- Informe o ângulo B, o segundo ângulo conhecido.
- A calculadora exige que a soma dos ângulos A e B seja menor que 180°, já que o terceiro ângulo (C) precisa ser positivo.
- Leia o lado b, o ângulo C, o lado c e a área do triângulo, todos obtidos pela lei dos senos.
A fórmula da lei dos senos
Uma vez encontrado o ângulo C pela soma dos ângulos (180° − A − B), a razão a / sin A da lei dos senos é aplicada para obter os dois lados restantes.
Erros comuns
- Informar o lado a como se ele fosse oposto ao ângulo B em vez do ângulo A — a lei dos senos emparelha cada lado estritamente com o ângulo oposto a ele.
- Informar dois ângulos que somam 180° ou mais, sem deixar espaço para um terceiro ângulo válido.
- Confundir a lei dos senos (razões entre lados e senos dos ângulos opostos) com a lei dos cossenos (usada nos casos LAL e LLL).
- Esquecer que os ângulos precisam ser informados em graus, e não em radianos.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da lei dos senos?
a / sin A = b / sin B = c / sin C, em que cada lado é emparelhado com o seno do ângulo diretamente oposto a ele.
Como se encontra um lado que falta pela lei dos senos?
Monte a razão com o lado e o ângulo conhecidos e resolva para o lado que falta: b = (a × sin B) / sin A. Para A = 30°, a = 10 e B = 45°, o lado b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0,707107) / 0,5 ≈ 14,1421.
Qual é o terceiro ângulo se A = 30° e B = 45°?
Como os três ângulos de um triângulo somam 180°, o ângulo C = 180° − 30° − 45° = 105°.
O que é o caso ambíguo na lei dos senos?
O caso ambíguo (LLA) surge quando se conhecem dois lados e um ângulo não compreendido entre eles — dependendo dos valores, zero, um ou dois triângulos distintos podem satisfazer as medidas dadas. Ele não aparece no modo AAL desta calculadora, que tem sempre exatamente uma solução.
Como se calcula a área de um triângulo pela lei dos senos?
Conhecidos dois lados e o ângulo entre eles, a área = ½ × lado₁ × lado₂ × sin(ângulo entre eles). Para a = 10, b ≈ 14,1421 e ângulo C = 105° entre eles, a área = ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 unidades quadradas.
Quando devo usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?
Use a lei dos senos quando conhecer dois ângulos e qualquer um dos lados (AAL/ALA), ou dois lados e um ângulo não compreendido entre eles (LLA). Use a lei dos cossenos quando conhecer os três lados (LLL) ou dois lados e o ângulo entre eles (LAL), casos que a lei dos senos não resolve diretamente.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).