Ternos pitagóricos mais comuns
Um terno pitagórico é um conjunto de três inteiros positivos que satisfazem exatamente a² + b² = c². A tabela abaixo lista os menores e mais usados.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Qualquer múltiplo inteiro de um terno pitagórico também é um terno válido — por exemplo, 6-8-10 e 9-12-15 são ambos múltiplos de 3-4-5.
- O teorema de Pitágoras só vale exatamente para triângulos retângulos num plano (euclidiano); ele não se aplica a triângulos sobre uma superfície curva, como a de uma esfera.
O que é o teorema de Pitágoras?
O teorema de Pitágoras afirma que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, chamados de catetos: a² + b² = c². É uma das relações mais usadas da geometria, atribuída ao matemático grego Pitágoras e demonstrada de forma independente em várias tradições matemáticas antigas.
O teorema vale exclusivamente para triângulos retângulos — aqueles que contêm exatamente um ângulo de 90°. Ele serve para encontrar um lado desconhecido quando os outros dois são conhecidos e sustenta a fórmula da distância, identidades trigonométricas e inúmeros problemas práticos de medição na construção civil, na navegação e na engenharia.
Como usar esta calculadora do teorema de Pitágoras
- Escolha o que resolver: a hipotenusa (dados os dois catetos) ou um cateto que falta (dados a hipotenusa e um cateto).
- No modo hipotenusa, informe o cateto a e o cateto b.
- No modo cateto que falta, informe o cateto conhecido (a) e a hipotenusa (c); a hipotenusa precisa ser maior que o cateto conhecido.
- Leia o lado que falta, além da área e do perímetro do triângulo, calculados a partir dos três lados.
A fórmula do teorema de Pitágoras
A mesma equação básica é rearranjada conforme o lado desconhecido.
Erros comuns
- Aplicar a fórmula a um triângulo que não é retângulo — o teorema só vale quando um dos ângulos é exatamente 90°.
- Somar a hipotenusa em a² + b² = c² como se ela fosse um cateto, em vez de resolver c² − a² = b² para o cateto que falta.
- Informar um cateto igual ou maior que a hipotenusa no modo “cateto que falta”, o que é geometricamente impossível num triângulo retângulo.
- Esquecer de extrair a raiz quadrada depois de somar (ou subtrair) os quadrados — o teorema entrega primeiro o valor ao quadrado.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
a² + b² = c², em que a e b são os dois catetos de um triângulo retângulo e c é a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo reto.
Como se encontra a hipotenusa de um triângulo retângulo?
Extraia a raiz quadrada da soma dos quadrados dos dois catetos: c = √(a² + b²). Para catetos 3 e 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Como se encontra um cateto que falta pelo teorema de Pitágoras?
Subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa e extraia a raiz quadrada: b = √(c² − a²). Para hipotenusa 5 e cateto conhecido 3, b = √(25 − 9) = √16 = 4.
O que é um terno pitagórico?
Um terno pitagórico é um conjunto de três números inteiros positivos a, b e c que satisfazem exatamente a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 ou 8-15-17.
O teorema de Pitágoras vale para todos os triângulos?
Não. Ele se aplica somente a triângulos retângulos — aqueles com exatamente um ângulo de 90°. Para triângulos sem ângulo reto, usa-se a lei dos cossenos, que é uma generalização do teorema de Pitágoras.
Qual é a área de um triângulo retângulo 3-4-5?
A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos: A = ½ × a × b. Para catetos 3 e 4, a área é ½ × 3 × 4 = 6 unidades quadradas, com perímetro de 3 + 4 + 5 = 12 unidades.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).