Método 1: base vezes altura, dividido por 2
A fórmula mais conhecida para a área de um triângulo é área = 1/2 x base x altura, onde altura é a distância perpendicular da base escolhida até o vértice oposto -- não o comprimento de um lado inclinado. Esse método se aplica sempre que uma base e sua altura perpendicular são conhecidas ou podem ser medidas diretamente, o que é comum em triângulos retângulos e em triângulos desenhados em uma grade ou diagrama com uma altura marcada.
Exemplo resolvido: um triângulo tem base de 8 unidades e altura perpendicular de 5 unidades. Aplicando a fórmula: área = 1/2 x 8 x 5 = 1/2 x 40 = 20 unidades quadradas. Esse método não requer trigonometria nem o conhecimento dos ângulos do triângulo ou de seus outros dois lados -- apenas o lado escolhido como base e a altura em linha reta medida perpendicularmente a ela.
Método 2: fórmula de Herão, a partir apenas dos três lados
Quando só se conhecem os três lados de um triângulo -- sem altura e sem ângulo dados diretamente -- a fórmula de Herão calcula a área a partir apenas desses três comprimentos. Primeiro calcula-se o semiperímetro, s = (a + b + c) / 2, e depois obtém-se a área como a raiz quadrada de s(s - a)(s - b)(s - c).
Exemplo resolvido: um triângulo tem lados a = 9, b = 10 e c = 11. Passo 1: o semiperímetro é s = (9 + 10 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15. Passo 2: área = a raiz quadrada de 15 x (15-9) x (15-10) x (15-11) = a raiz quadrada de 15 x 6 x 5 x 4 = a raiz quadrada de 1800, que é aproximadamente 42,4264 unidades quadradas. Antes de aplicar a fórmula de Herão, vale confirmar que os três comprimentos realmente formam um triângulo: cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois (a desigualdade triangular), condição que 9, 10 e 11 satisfazem.
Método 3: 1/2 x a x b x sin(C), a partir de dois lados e o ângulo incluído
Quando dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles (o ângulo incluído) são conhecidos -- mas não uma altura perpendicular -- aplica-se a fórmula trigonométrica da área: área = 1/2 x a x b x sin(C), em que a e b são os dois lados conhecidos e C é o ângulo entre eles.
Exemplo resolvido: um triângulo tem lados a = 7 e b = 10, com um ângulo incluído de C = 40 graus. Aplicando a fórmula: área = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 graus) = 35 x sin(40 graus). Como sin(40 graus) é aproximadamente 0,6428, a área é aproximadamente 35 x 0,6428 = 22,4976 unidades quadradas. Esse método é especialmente útil em problemas de topografia e navegação, em que duas distâncias medidas e o ângulo entre elas costumam ser mais fáceis de obter diretamente do que uma altura perpendicular.
Qual método usar?
Os três métodos não são abordagens concorrentes para o mesmo problema -- cada um é adequado a uma combinação diferente de medidas conhecidas, e escolher o que corresponde aos dados disponíveis evita etapas extras desnecessárias, como calcular primeiro uma altura ou um ângulo que não foi dado diretamente.
| Valores conhecidos | Melhor método | Fórmula |
|---|---|---|
| Base e altura perpendicular | Base x altura / 2 | área = 1/2 x base x altura |
| Os três lados (LLL), sem ângulo conhecido | Fórmula de Herão | área = raiz(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2 |
| Dois lados e o ângulo incluído (LAL) | Fórmula trigonométrica | área = 1/2 x a x b x sin(C) |
Erros comuns ao calcular a área de um triângulo
O erro mais frequente no método base-altura é substituir um lado inclinado pela altura perpendicular -- os dois só são iguais quando o triângulo é retângulo na base, então usar um lado inclinado em outros casos infla a área calculada. A altura deve sempre ser medida ao longo de uma linha perpendicular à base escolhida, mesmo que essa linha não corresponda a nenhum lado realmente desenhado do triângulo.
No método trigonométrico, um erro comum é usar um ângulo que não está de fato incluído entre os dois lados conhecidos -- a fórmula área = 1/2 x a x b x sin(C) exige que C seja o ângulo diretamente entre os lados a e b, não um dos outros dois ângulos do triângulo. Usar a fórmula de Herão com três comprimentos que violam a desigualdade triangular (quando um lado é maior que a soma dos outros dois) leva a tentar extrair a raiz quadrada de um número negativo, o que indica que esse triângulo não existe.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da área de um triângulo?
A fórmula mais comum é área = 1/2 x base x altura, em que altura é a distância perpendicular da base até o vértice oposto. Quando só se conhecem os três lados, a fórmula de Herão fornece a área; quando se conhecem dois lados e o ângulo incluído, aplica-se área = 1/2 x a x b x sin(C). As três fórmulas produzem a mesma área para o mesmo triângulo.
Como calcular a área de um triângulo sabendo apenas os três lados?
Use a fórmula de Herão: calcule o semiperímetro s = (a + b + c) / 2, e depois área = a raiz quadrada de s(s-a)(s-b)(s-c). Para um triângulo com lados 9, 10 e 11, s = 15 e área = a raiz quadrada de (15 x 6 x 5 x 4) = a raiz quadrada de 1800, aproximadamente 42,4264 unidades quadradas.
Como calcular a área de um triângulo com dois lados e um ângulo?
Use a fórmula trigonométrica área = 1/2 x a x b x sin(C), em que a e b são os dois lados conhecidos e C é o ângulo incluído entre eles. Para lados 7 e 10 com ângulo incluído de 40 graus, área = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 graus), aproximadamente 22,4976 unidades quadradas.
É possível calcular a área de um triângulo sem saber a altura?
Sim. Se só se conhecem os três lados, a fórmula de Herão calcula a área sem nenhuma medida de altura. Se dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, a fórmula trigonométrica 1/2 x a x b x sin(C) também dispensa a altura, já que o seno do ângulo incluído a substitui de forma eficaz.
Por que a altura precisa ser perpendicular na fórmula base-altura?
A fórmula base-altura, área = 1/2 x base x altura, deriva da área de um retângulo com a mesma base e altura, cortado na diagonal -- e essa dedução só vale quando a altura é medida ao longo de uma linha perpendicular à base. Substituir a verdadeira altura perpendicular por um lado inclinado produz uma área incorreta e maior do que deveria.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Triangle Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Geometry. Cengage Learning (triangle area formulas and the triangle inequality).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (the trigonometric area formula, 1/2 ab sin C).