Arco, corda e setor em ângulos comuns
A tabela abaixo mostra como o comprimento do arco se compara ao da corda num círculo de raio 10, em vários ângulos centrais comuns.
| Ângulo central | Comprimento do arco (r=10) | Comprimento da corda (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (circunferência completa) | 0 (início = fim) |
- Em 360°, o comprimento do arco é igual à circunferência completa (2πr) e o comprimento da corda é zero, porque os pontos inicial e final coincidem.
- O comprimento do arco é sempre maior ou igual ao da corda para o mesmo ângulo, já que a reta é o caminho mais curto entre dois pontos e o arco se curva entre eles.
- A área do segmento só faz sentido para ângulos estritamente entre 0° e 360°; em exatamente 0°, tanto a área do setor quanto a do segmento valem zero.
O que são comprimento de arco, comprimento de corda e área do setor?
Um arco é uma porção curva da circunferência de um círculo, delimitada por dois raios e por um ângulo central. O comprimento do arco é a distância medida ao longo dessa curva. Já a corda é o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco — sempre mais curta que o próprio arco, a menos que o ângulo seja infinitesimal.
O setor é a região em forma de fatia de pizza delimitada pelo arco e pelos dois raios; o segmento é a região menor delimitada pelo arco e pela corda (a fatia menos o triângulo formado pelos dois raios e pela corda). As quatro grandezas são calculadas diretamente a partir do raio e do ângulo central.
Como usar esta calculadora de comprimento de arco
- Informe o raio do círculo.
- Informe o ângulo central em graus, entre 0° e 360°.
- Leia o comprimento do arco, o comprimento da corda, a área do setor e a área do segmento, que se atualizam na hora.
As fórmulas de comprimento de arco e de área do setor
Todas as fórmulas exigem o ângulo central em radianos (θ = ângulo em graus × π / 180); a calculadora faz essa conversão automaticamente a partir da entrada em graus.
Erros comuns
- Informar o ângulo em radianos quando a calculadora espera graus.
- Confundir comprimento do arco (distância curva) com comprimento da corda (distância em linha reta) — os dois só coincidem no limite em que o ângulo tende a zero.
- Confundir área do setor (delimitada por dois raios e pelo arco) com área do segmento (delimitada pela corda e pelo arco) — o segmento é sempre menor.
- Usar um ângulo maior que 360°, que não corresponde a um setor único e bem definido de um mesmo círculo.
Perguntas frequentes
Como se calcula o comprimento de um arco?
O comprimento do arco é o raio vezes o ângulo central em radianos: s = rθ. Para raio 10 e ângulo de 60° (θ = π/3 radianos), o comprimento do arco é 10 × π/3 ≈ 10,4720 unidades.
Qual é a diferença entre comprimento de arco e comprimento de corda?
O comprimento do arco é a distância ao longo da borda curva do círculo entre dois pontos; o da corda é a distância em linha reta entre esses mesmos pontos. Para raio 10 e ângulo de 60°, o arco mede cerca de 10,4720 e a corda mede exatamente 10 (já que a corda = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10).
Como se calcula a área de um setor?
A área do setor é metade do raio ao quadrado vezes o ângulo central em radianos: A = ½r²θ. Para raio 10 e ângulo de 60°, a área do setor é ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 unidades quadradas.
O que é um segmento circular?
Um segmento é a região entre uma corda e o arco que ela separa — a área do setor menos a área triangular formada pelos dois raios e pela corda. Para raio 10 e ângulo de 60°, a área do segmento é ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 unidades quadradas.
Como converter graus em radianos para essas fórmulas?
Multiplique o ângulo em graus por π/180. Por exemplo, 60° × π/180 = π/3 radianos ≈ 1,0472 radianos.
Qual é o comprimento do arco de um círculo completo?
Num ângulo central de 360° (2π radianos), o comprimento do arco é igual à circunferência completa, 2πr. Para um raio de 10, isso dá 2π × 10 ≈ 62,8319 unidades.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).