Lendo o resultado da fórmula da distância
A tabela abaixo mostra como a fórmula da distância se relaciona com os catetos do triângulo retângulo formado pelos dois pontos.
| Grandeza | Significado |
|---|---|
| x₂ − x₁ | Cateto horizontal do triângulo retângulo (deslocamento em x) |
| y₂ − y₁ | Cateto vertical do triângulo retângulo (deslocamento em y) |
| d | Hipotenusa — a distância em linha reta entre os pontos |
- Quando os dois pontos têm a mesma coordenada x (reta vertical), o coeficiente angular fica indefinido, porque o denominador (x₂ − x₁) é zero — nesse caso, a calculadora informa “indefinido” em vez de um valor numérico.
- A fórmula da distância devolve o mesmo resultado independentemente de qual ponto é rotulado como 1 e qual como 2, já que as duas diferenças são elevadas ao quadrado antes da soma.
O que é a fórmula da distância?
A fórmula da distância calcula a distância em linha reta entre dois pontos, (x₁, y₁) e (x₂, y₂), num plano cartesiano. Ela vem diretamente do teorema de Pitágoras: as diferenças horizontal e vertical entre os pontos formam os dois catetos de um triângulo retângulo, e a distância entre os pontos é a hipotenusa.
Junto com a distância, esta calculadora devolve o ponto médio (o ponto exatamente no meio do caminho entre os dois pontos dados) e o coeficiente angular da reta que passa por eles, que descreve a inclinação e o sentido dessa reta.
Como usar esta calculadora da fórmula da distância
- Informe as coordenadas do primeiro ponto, x₁ e y₁.
- Informe as coordenadas do segundo ponto, x₂ e y₂.
- Leia a distância entre os dois pontos, o ponto médio e os coeficientes angular e linear da reta que os liga.
A fórmula da distância
A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças horizontal e vertical entre dois pontos.
Erros comuns
- Subtrair as coordenadas na ordem trocada e esquecer que as diferenças são elevadas ao quadrado de todo jeito, de modo que erros de sinal não alteram o resultado da distância.
- Esquecer de extrair a raiz quadrada no fim — a expressão sob o radical dá a distância ao quadrado, não a distância.
- Supor que o coeficiente angular sempre existe — uma reta vertical (coordenadas x iguais) tem coeficiente angular indefinido, e não igual a zero.
- Confundir a fórmula do ponto médio (média das coordenadas) com a fórmula da distância (soma pitagórica das diferenças).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da distância?
A fórmula da distância é d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), derivada do teorema de Pitágoras. Para os pontos (0; 0) e (3; 4), a distância é √(3² + 4²) = √25 = 5.
Como se encontra o ponto médio entre dois pontos?
Calcule separadamente a média das coordenadas x e a das coordenadas y: ponto médio = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Para (0; 0) e (3; 4), o ponto médio tem x = 1,5 e y = 2.
Como a fórmula da distância se relaciona com o teorema de Pitágoras?
A diferença horizontal (x₂−x₁) e a diferença vertical (y₂−y₁) entre dois pontos formam os dois catetos de um triângulo retângulo; a distância em linha reta entre os pontos é a hipotenusa, portanto d = √(cateto₁² + cateto₂²) — exatamente o teorema de Pitágoras.
O que significa o coeficiente angular ser indefinido?
O coeficiente angular fica indefinido quando os dois pontos têm a mesma coordenada x, ou seja, quando a reta que os liga é perfeitamente vertical. A divisão por zero (x₂ − x₁ = 0) não tem valor definido, portanto o coeficiente angular não pode ser expresso como número.
A distância entre dois pontos pode ser negativa?
Não. A distância é sempre zero ou positiva, porque vem da raiz quadrada de uma soma de quadrados, que nunca é negativa. Uma distância igual a zero significa que os dois pontos são idênticos.
Como se encontra a equação da reta que passa por dois pontos?
Calcule primeiro o coeficiente angular, m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Depois obtenha o coeficiente linear por b = y₁ − m×x₁. Para os pontos (0; 0) e (3; 4), m = 4/3 e b = 0 − (4/3)(0) = 0, o que dá a reta y = (4/3)x.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Distance" and "Midpoint." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).