Fórmulas de volume e de área da superfície por sólido
A tabela abaixo resume a fórmula de volume e a de área da superfície usadas para cada sólido.
| Sólido | Fórmula do volume | Fórmula da área da superfície |
|---|---|---|
| Esfera | V = (4/3)πr³ | A = 4πr² |
| Cubo | V = s³ | A = 6s² |
| Paralelepípedo retângulo | V = lwh | A = 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro | V = πr²h | A = 2πr² + 2πrh |
| Cone | V = (1/3)πr²h | A = πr² + πr·geratriz |
| Pirâmide de base quadrada | V = (1/3)l²h | A = l² + 2l·apótema |
| Hemisfério | V = (2/3)πr³ | A = 3πr² |
| Tronco de cone | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | A = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·geratriz |
- No cone, na pirâmide e no tronco de cone, a fórmula da área da superfície usa a geratriz (ou a aresta inclinada), derivada internamente do raio/aresta e da altura pelo teorema de Pitágoras — ela não é a mesma coisa que a altura vertical informada.
- “Área da superfície” aqui significa área total, incluindo a base ou as bases; não é a área lateral (somente das faces laterais) — para essa separação, veja a calculadora dedicada de área da superfície.
- Todas as fórmulas pressupõem sólidos retos (não oblíquos): o vértice ou a face do topo fica exatamente acima do centro da base.
O que é volume?
Volume é a quantidade de espaço tridimensional delimitada por um sólido, medida em unidades cúbicas (metros cúbicos ou pés cúbicos, por exemplo). Cada sólido regular tem uma fórmula fechada que relaciona o volume às suas dimensões definidoras, como o raio de uma esfera ou o comprimento, a largura e a altura de um paralelepípedo.
A área da superfície, exibida ao lado do volume para todos os sólidos aqui, é a área total de todas as faces externas ou superfícies curvas. Ela usa unidades quadradas e é calculada por uma fórmula diferente da do volume — as duas descrevem propriedades físicas distintas e não são intercambiáveis.
Como usar esta calculadora de volume
- Selecione o sólido que você quer medir na lista de sólidos.
- Informe as dimensões pedidas — por exemplo, o raio de uma esfera, ou comprimento, largura e altura de um paralelepípedo.
- No tronco de cone, informe o raio da base, o raio do topo (radius2) e a altura perpendicular entre as duas faces circulares.
- Na pirâmide de base quadrada, informe a aresta da base como “comprimento” e a altura perpendicular da base até o vértice.
- Leia o volume e a área da superfície, que se atualizam na hora conforme você muda as dimensões.
A fórmula do volume de cada sólido
A fórmula de volume de cada sólido vem do cálculo (integrar a área da seção transversal ao longo da altura ou do raio do sólido), mas se reduz a uma expressão fechada simples nessas formas padrão.
Erros comuns
- Informar o diâmetro em vez do raio: numa esfera ou hemisfério o volume fica 8 vezes maior, e num cilindro ou cone 4 vezes, porque o volume depende de r² e não de r³.
- Confundir a aresta do cubo com o comprimento, a largura e a altura independentes de um paralelepípedo.
- No tronco de cone, informar o raio do topo (radius2) maior que o da base sem perceber qual face é qual — a fórmula é simétrica, mas a rotulagem determina a orientação.
- Misturar unidades, como informar a altura em pés e o raio em polegadas, o que produz um resultado incorreto.
- Supor que volume e área da superfície escalam do mesmo jeito — dobrar o raio de uma esfera multiplica o volume por 8, mas a área da superfície apenas por 4.
Perguntas frequentes
Como se calcula o volume de uma esfera?
O volume de uma esfera é (4/3) × π × raio³. Uma esfera de raio 3 tem volume (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 unidades cúbicas.
Qual é o volume de um cilindro?
O volume de um cilindro é π × raio² × altura. Um cilindro de raio 3 e altura 5 tem volume π × 9 × 5 ≈ 141,3717 unidades cúbicas.
Como se calcula o volume de um cone?
O volume de um cone é um terço de π × raio² × altura. Um cone de raio 3 e altura 5 tem volume (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 unidades cúbicas — exatamente um terço do volume de um cilindro de mesmo raio e mesma altura.
Qual é o volume de um paralelepípedo retângulo?
O volume de um paralelepípedo é comprimento × largura × altura. Um paralelepípedo de 4 × 3 × 5 tem volume 4 × 3 × 5 = 60 unidades cúbicas.
Como se calcula o volume de um tronco de cone?
O volume de um tronco de cone é (1/3) × π × altura × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), em que r₁ e r₂ são os raios das duas faces circulares. Um tronco de raio da base 3, raio do topo 2 e altura 5 tem volume (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 unidades cúbicas.
Por que a calculadora também mostra a área da superfície?
Volume e área da superfície são descritores padrão de um sólido e costumam ser necessários juntos — o volume para capacidade e a área da superfície para estimar material ou revestimento, por exemplo —, portanto os dois são calculados a partir das mesmas dimensões informadas.
Qual é a diferença entre a fórmula da esfera e a do hemisfério?
Um hemisfério é exatamente metade de uma esfera em volume: V = (2/3)πr³, contra (4/3)πr³ da esfera inteira. Já a área da superfície não é simplesmente metade da esfera, porque inclui também a base circular plana: A = 3πr² (2πr² de superfície curva mais πr² de base plana), em comparação com 4πr² da esfera completa.
Referências
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).