부호를 바로잡기
TVM 풀이기에서 나오는 오답은 거의 모두 산수가 아니라 부호에서 옵니다. 아래 표는 가장 흔한 두 상황의 규약을 보여 줍니다.
| 상황 | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| 계좌에 저축하기 | 음수 (내가 넣음) | 음수 (내가 넣음) | 양수 (내가 찾음) |
| 대출 갚기 | 양수 (내가 받음) | 음수 (내가 갚음) | 0, 만기 일시상환이 남으면 음수 |
| 투자 평가하기 | 음수 (내가 치르는 값) | 양수 (받는 수입) | 양수 (매각 대금) |
- 입력하는 이자율은 명목 연이율을 연간 기간 수로 나눈 값입니다. 상품이 실효 연이율을 고시한다면 넣기 전에 환산하세요.
- 기간 수를 구하면 정수가 나오는 경우는 드뭅니다. 소수로 나오면 마지막 기간이 부분 기간이라는 뜻입니다.
화폐의 시간가치가 뜻하는 것
지금 쓸 수 있는 돈은 같은 금액을 나중에 받는 것보다 가치가 큽니다. 그 사이에 수익을 낼 수 있기 때문입니다. 화폐의 시간가치는 이 직관을, 오늘의 목돈과 균등한 상환금의 흐름과 마지막의 목돈과 이자율과 기간 수를 잇는 방정식으로 옮겨 놓습니다.
사람들이 걸려 넘어지는 곳이 부호 규약인데, 이는 임의로 정한 것이 아닙니다. 받는 현금은 양수, 내는 현금은 음수입니다. 그래서 예금은 음수이고 나중에 찾는 잔액은 양수이며, 받은 대출은 양수이고 갚는 할부금은 음수입니다. 모든 값의 부호가 같으면 방정식에 뜻있는 해가 없습니다.
상환금은 각 기간 말에 놓일 수도 있고 기간 초에 놓일 수도 있습니다. 앞의 것이 대부분의 대출에 쓰이는 기말급 연금이고, 뒤의 것이 임대료와 여러 보험료에 쓰이는 기시급 연금입니다. 기간 초에 내면 상환금마다 이자가 붙거나 불어날 기간이 하나씩 더 생기므로 두 설정은 서로 다른 답을 냅니다.
TVM 계산기 사용법
- 다섯 가지 양 중 무엇을 구할지 고릅니다. 그 항목의 입력란이 사라집니다. 그것이 답이기 때문입니다.
- 나머지 넷을 부호 규약에 맞춰 입력합니다. 내는 돈은 음수, 받는 돈은 양수입니다.
- 연간 기간 수를 정합니다. 매월이면 12, 분기면 4, 매년이면 1입니다.
- 상환금이 각 기간 말에 놓이는지 기간 초에 놓이는지 고릅니다.
- 결과를 확인합니다. 이자율을 구할 때는 연이율과 실효 연이율이 함께 표시됩니다.
풀이기의 바탕이 되는 방정식
다섯 값 모두가 하나의 관계를 만족합니다. 현재가치를 n기간 앞으로 불리고, 상환금 흐름을 연금으로 평가하고, 미래가치를 더합니다. 값들이 서로 들어맞으면 합이 0이 됩니다.
다섯 중 넷은 대수적으로 분리할 수 있습니다. 이자율은 그럴 수 없어 이분법으로 찾습니다. 이자율 계산기가 쓰는 것과 같은 방법이고 이유도 같습니다.
흔한 실수
- 모든 값을 양수로 입력하는 것. 해가 있으려면 방정식에 최소한 한 번의 부호 변화가 필요합니다.
- 연간 기간 수를 설정하지 않은 채 연 이자율을 월 단위 기간과 섞는 것.
- 임대료처럼 선불로 내는 상환에 기말급 설정을 쓰는 것. 그것은 기시급 연금입니다.
- 명목 이자율이 필요한 자리에 실효 연이율을 넣는 것.
- 소수로 나온 기간 수를 오류로 읽는 것. 그것은 부분 기간인 마지막 회차입니다.
자주 묻는 질문
TVM의 다섯 변수는 무엇인가요?
현재가치, 미래가치, 기간당 상환금, 기간 수, 이자율입니다. 하나의 방정식으로 묶여 있어 넷이 나머지 하나를 결정합니다. 금융 계산기가 PV, FV, PMT, N, I/Y로 표시하는 바로 그 변수들입니다.
왜 음수를 입력해야 하나요?
방정식이 유입과 유출을 맞추기 때문입니다. 내는 돈은 음수, 받는 돈은 양수입니다. 목표를 위해 매달 100을 모으는 것은 -100의 상환금이고, 나중에 찾는 잔액은 양수입니다. 모든 수치의 부호가 같으면 맞출 것이 없어 해가 존재하지 않습니다.
기말급 연금과 기시급 연금의 차이는 무엇인가요?
기말급 연금은 각 기간 말에 지급하며 대출의 표준입니다. 기시급 연금은 기간 초에 지급하며 임대료와 여러 보험료가 이 방식입니다. 기시급 연금은 상환금마다 복리가 붙을 기간이 하나 더 있으므로, 그 가치는 같은 조건의 기말급 연금의 (1 + i)배입니다.
공식이 없는데 이자율은 어떻게 구하나요?
수치 탐색으로 구합니다. 이자율은 계수로도 나타나고 지수 안에도 들어가서 분리할 수 없습니다. 풀이기는 답을 구간에 가둔 뒤 그 구간을 거듭 절반으로 줄여, 표시 정밀도를 훨씬 넘어설 때까지 수렴시킵니다.
연이율과 실효 연이율의 차이는 무엇인가요?
여기서의 연이율은 명목입니다. 기간별 이자율에 1년의 기간 수를 곱한 값이며 1년 안의 복리를 무시합니다. 실효 연이율 (1 + i)^m - 1은 그 복리를 반영하며, 복리 주기가 다른 상품을 비교할 때 옳은 기준입니다.
참고 자료
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.