角度単位換算表
各単位が1回転に占める割合と、度およびラジアンでの値です。
| 単位 | 度 | ラジアン | 1回転に対する割合 |
|---|---|---|---|
| 1 回転 | 360 | 6.2831853 | 1 |
| 1 度 | 1 | 0.017453293 | 1/360 |
| 1 グラード | 0.9 | 0.015707963 | 1/400 |
| 1 ラジアン | 57.295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 分角 | 0.016666667 | 0.00029088821 | 1/21,600 |
| 1 秒角 | 0.00027777778 | 0.0000048481368 | 1/1,296,000 |
| 1 ミリラジアン | 0.057295780 | 0.001 | 1/(2000π) |
- この表の係数はすべて定義により厳密です。表示されている小数値は丸めた値ですが、その根拠となる関係 — 1回転あたり360度、400グラード、2π ラジアン — には測定の不確かさが一切ありません。
- ここで用いるミリラジアンは真の角度ミリラジアン、すなわち 1/1000 ラジアンです。射撃競技のいくつかはやや異なる「ミル」を用います。NATOミルは1回転を 6,283.19 ではなく 6,400 に分割するため、スコープやレティクルがどちらを指すのか換算前に確認してください。
- 表計算ソフトやプログラミング言語の三角関数は、ほぼ例外なくラジアンを前提とします。そこに度を渡すことは、幾何計算が静かに誤る最も一般的な原因の一つです。
よく使われる角度単位
角度は回転を測る量で、どの単位も1回転の分数です。度は1回転を360分割します。バビロニア天文学から受け継がれた慣習で、360が非常に多くの整数で割り切れるために今も使われています。ラジアンは1回転を 2π 分割するSI単位で、半径と同じ長さの弧に対する角が1ラジアンです。
ラジアンは恣意的な選択ではありません。微積分はそれを前提とします。sin x の導関数が cos x になるのは x がラジアンのときだけであり、弧長や扇形面積の公式も同様です。だからこそ度で入力した角は、これらの公式を適用する前に換算する必要があります。
グラード(ゴンとも呼ばれます)は1回転を400分割するので、直角がちょうど 100 gon になります。測量、とくに欧州大陸で使われます。分角と秒角は度を60分割、3,600分割して天文学と航海に用いられ、ミリラジアンは光学と弾道学で使われます。1ミリラジアンは1キロメートル先でおよそ1メートルを張ります。
この角度換算ツールの使い方
- 換算したい角度を入力します。負の値も使えます。方位や回転はどちら向きにも測れるからです。
- その単位を選びます。度、ラジアン、グラード、回転、分角、秒角、ミリラジアンのいずれかです。
- 他のすべての単位における等価な値を一度に読み取ります。
- 三角関数、導関数、弧長の計算に入る値には必ずラジアンを使ってください。
角度換算ツールの換算係数
値はまずラジアンに換算され、そこから各変換先単位へ変換されます。1回転は 2π ラジアンであると同時に360度、400グラード、1回転でもあるため、すべての係数はこれらの恒等式から厳密に導かれます。
計算例:45° をラジアンにすると 45 × π/180 = π/4 = 0.78539816 rad。グラードでは 45 × 400/360 = ちょうど 50 gon。回転では 45/360 = ちょうど 0.125。秒角では 45 × 3,600 = ちょうど 162,000。
よくある間違い
- ラジアンを前提とする三角関数に度を渡すこと。30をラジアンと解釈すると sin(30) は −0.988 になり、期待した 0.5 にはなりません。
- 角度ミリラジアン(1/1000 rad、1回転あたり 6,283.19)と NATOミル(1回転あたり 6,400)を混同すること。両者はおよそ 1.9% 異なります。
- 分角を時間の分と読むこと。1分角は 1/60 度であり、ここでの記号 ′ と ″ は角度を表し、時間の長さではありません。
- 直角はどの単位でも90だと思い込むこと。90° ですが、100 gon、π/2 rad、0.25 回転です。
よくある質問
1ラジアンは何度ですか?
57.295780 度、すなわち 180/π です。1回転が360度であると同時に 2π ラジアンでもあることから導かれ、1ラジアンは 360/(2π) = 180/π 度になります。逆の換算は 1° = π/180 ≈ 0.017453293 rad です。
数学者はなぜ度ではなくラジアンを使うのですか?
微積分がきれいに機能するのはラジアンのときだけだからです。sin x の導関数が cos x になること、小角近似 sin x ≈ x が成り立つことは、いずれも x をラジアンで測った場合に限られます。弧長 (rθ) と扇形面積 (½r²θ) も同じ前提に立ちます。度で表すと、これらの式にはいずれも π/180 の係数が付きます。
グラードは何に使われますか?
主に欧州大陸の測量です。1回転を400分割すると直角がちょうど 100 gon になるので、象限や勾配が切りのよい数値になります。経緯儀を読むときに便利です。ゴンあるいはグレードとも呼ばれます。
1度は何秒角ですか?
3,600 秒角です。1度は60分角に分かれ、各分角はさらに60秒角に分かれるため、1度あたり 3,600 秒角、1回転では 1,296,000 秒角になります。天文学者がこの細分を使うのは、天体の位置が度よりはるかに細かい分解能を要求するからです。
実用面でミリラジアンとは何ですか?
1ラジアンの1000分の1で、1キロメートル先でほぼちょうど1メートルを張ります。この性質こそが光学や測距で役立つ理由です。なお射撃競技の一部では1回転の 1/6400 と定義される「ミル」が用いられ、およそ 1.9% 異なります。
参考文献
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.