Coordinate sulla circonferenza goniometrica: (cos theta, sin theta)
La circonferenza goniometrica è un cerchio con raggio esattamente 1, centrato nell'origine (0,0) di un piano cartesiano. Per qualsiasi angolo theta, misurato in senso antiorario a partire dall'asse x positivo, tracciare una linea dall'origine a quell'angolo e trovare dove attraversa il cerchio dà un punto la cui coordinata x è uguale a cos(theta) e la cui coordinata y è uguale a sin(theta) -- direttamente, senza bisogno di alcuna scalatura, perché il raggio del cerchio è 1.
Questa è la definizione geometrica alla base di ogni identità trigonometrica: il coseno è, per definizione, la coordinata x sulla circonferenza goniometrica a un dato angolo, e il seno è la coordinata y. La tangente segue direttamente come rapporto tra i due: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), che geometricamente rappresenta la pendenza della linea dall'origine a quel punto sul cerchio.
Segni per quadrante: dove seno e coseno sono positivi o negativi
Il piano cartesiano è diviso in quattro quadranti dagli assi x e y, e poiché seno e coseno sono semplicemente le coordinate y e x di un punto sulla circonferenza goniometrica, i loro segni in ciascun quadrante seguono direttamente dal segno delle coordinate in quel quadrante.
Questo schema viene talvolta ricordato con il mnemonico "Tutti Studiano Trigonometria Con entusiasmo", riferito a quali funzioni sono positive in ciascun quadrante procedendo in senso antiorario dal quadrante I: Tutte e tre le funzioni positive nel quadrante I, solo il Seno positivo nel quadrante II, solo la Tangente positiva nel quadrante III, e solo il Coseno positivo nel quadrante IV.
| Quadrante | Intervallo angolare | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | positivo | positivo | positivo |
| II | 90°-180° | positivo | negativo | negativo |
| III | 180°-270° | negativo | negativo | positivo |
| IV | 270°-360° | negativo | positivo | negativo |
Angoli di riferimento: trovare valori esatti fuori dal quadrante I
Un angolo di riferimento è l'angolo acuto, sempre tra 0 e 90 gradi, formato tra il lato terminale di un angolo e il punto più vicino sull'asse x. Gli angoli di riferimento permettono di trovare il seno, il coseno o la tangente esatti di qualsiasi angolo collegandolo a uno dei cinque angoli standard del quadrante I, applicando poi il segno corretto per il quadrante in cui si trova effettivamente l'angolo originale.
Per esempio, un angolo di 150 gradi si trova nel quadrante II, e il suo angolo di riferimento è 180 - 150 = 30 gradi. Poiché il seno è positivo nel quadrante II, sin(150 gradi) è uguale a più sin(30 gradi) = 0,5. Il coseno è negativo nel quadrante II, quindi cos(150 gradi) è uguale a meno cos(30 gradi), circa -0,8660. L'angolo di riferimento fornisce il valore assoluto; il quadrante fornisce il segno.
La tabella standard 0/30/45/60/90 gradi
Cinque angoli -- 0, 30, 45, 60 e 90 gradi, tutti nel quadrante I -- hanno valori di seno e coseno esprimibili come numeri esatti anziché lunghi decimali, e costituiscono il fondamento per trovare valori trigonometrici esatti a ogni altro angolo standard tramite gli angoli di riferimento. La tabella seguente elenca sia la forma esatta sia l'approssimazione decimale per ciascuno.
Nota la simmetria: i valori del seno da 0 a 90 gradi (0, 1/2, radice di 2/2, radice di 3/2, 1) sono esattamente i valori del coseno in ordine inverso, conseguenza diretta del fatto che seno e coseno sono funzioni complementari -- sin(theta) = cos(90 gradi - theta) per qualsiasi angolo theta.
| Angolo | sin theta (esatto) | sin theta (decimale) | cos theta (esatto) | cos theta (decimale) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | radice di 3/2 | 0,8660 |
| 45° | radice di 2/2 | 0,7071 | radice di 2/2 | 0,7071 |
| 60° | radice di 3/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Angoli coterminali e oltre una rotazione
Angoli maggiori di 360 gradi, o angoli negativi, corrispondono comunque a uno specifico punto sulla circonferenza goniometrica -- semplicemente girano attorno al cerchio una o più volte in più. Un angolo coterminale è l'angolo equivalente all'interno di una singola rotazione da 0 a 360 gradi, trovato aggiungendo o sottraendo multipli di 360 gradi finché il risultato non rientra in quell'intervallo.
Per esempio, un angolo di 405 gradi ha un angolo coterminale di 405 - 360 = 45 gradi, il che significa che entrambi gli angoli puntano esattamente alla stessa posizione sulla circonferenza goniometrica e quindi condividono valori identici di seno, coseno e tangente. Allo stesso modo, un angolo di -30 gradi ha un angolo coterminale di -30 + 360 = 330 gradi, che si trova nel quadrante IV.
Domande frequenti
Quali sono le coordinate di un punto sulla circonferenza goniometrica a un dato angolo?
Per qualsiasi angolo theta misurato in senso antiorario dall'asse x positivo, il punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica ha coordinate (cos theta, sin theta) esattamente -- la coordinata x è sempre il coseno dell'angolo, e la coordinata y è sempre il seno dell'angolo, senza bisogno di alcuna scalatura aggiuntiva poiché il raggio del cerchio è 1.
Qual è il valore esatto di sin(60 gradi)?
sin(60 gradi) è uguale alla radice quadrata di 3 diviso 2, un valore esatto circa uguale a 0,8660. La sua cofunzione complementare, cos(60 gradi), è uguale esattamente a 1/2 = 0,5, coerentemente con sin(60 gradi) = cos(90 gradi - 60 gradi) = cos(30 gradi).
Come si trova un angolo di riferimento?
Un angolo di riferimento è l'angolo acuto tra il lato terminale di un angolo e l'asse x più vicino. Nel quadrante II, sottrai l'angolo da 180 gradi; nel quadrante III, sottrai 180 gradi dall'angolo; nel quadrante IV, sottrai l'angolo da 360 gradi. Per 150 gradi (quadrante II), l'angolo di riferimento è 180 - 150 = 30 gradi.
Perché il coseno è negativo nel quadrante II?
Perché il coseno è uguale alla coordinata x di un punto sulla circonferenza goniometrica, e ogni punto nel quadrante II (angoli tra 90 e 180 gradi) ha una coordinata x negativa, trovandosi a sinistra dell'asse y. Il seno rimane positivo lì, poiché i punti del quadrante II hanno ancora una coordinata y positiva.
Cos'è un angolo coterminale?
Un angolo coterminale è un angolo che cade esattamente sullo stesso punto della circonferenza goniometrica dopo essere stato ridotto (o esteso) di un numero intero di rotazioni complete di 360 gradi. Un angolo di 405 gradi ha un angolo coterminale di 405 - 360 = 45 gradi, poiché entrambi descrivono la stessa posizione sul cerchio e quindi condividono valori identici di seno, coseno e tangente.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).