Interpretare i risultati con le frazioni
I risultati sono sempre ridotti ai minimi termini. La tabella seguente mostra come si comporta ciascuna operazione sulle frazioni di esempio 1/2 e 1/3.
| Operazione | Calcolo | Risultato | Decimale |
|---|---|---|---|
| Somma | 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 | 5/6 | 0,833333 |
| Sottrazione | 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Moltiplicazione | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Divisione | (1/2) / (1/3) = 3/2 | 3/2 | 1,5 |
- Una frazione impropria (numeratore maggiore del denominatore, per esempio 3/2) è un risultato valido; può essere scritta anche come numero misto 1 1/2.
- L'equivalente decimale mostrato è arrotondato a sei cifre decimali: frazioni come 1/3 hanno uno sviluppo decimale illimitato.
- Questo calcolatore arrotonda i dati inseriti a numeri interi, poiché una frazione è per definizione un rapporto fra interi.
Che cos'è una frazione?
Una frazione rappresenta una parte di un intero o, più in generale, il rapporto fra due numeri interi: un numeratore (il numero in alto) diviso per un denominatore (il numero in basso). Il denominatore indica in quante parti uguali è suddiviso l'intero, mentre il numeratore indica quante di quelle parti si considerano. Frazioni di uguale valore possono avere aspetto diverso: 1/2, 2/4 e 3/6 rappresentano tutte lo stesso numero.
Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore non hanno alcun fattore comune maggiore di 1. La semplificazione divide entrambi per il loro massimo comune divisore (MCD). Per esempio, 8/12 si semplifica in 2/3 perché il MCD di 8 e 12 è 4. Questo calcolatore restituisce sempre risultati ai minimi termini, con l'eventuale segno negativo portato dal numeratore.
Le quattro operazioni fondamentali sulle frazioni seguono regole fisse: addizione e sottrazione richiedono un denominatore comune, la moltiplicazione moltiplica direttamente numeratori e denominatori, mentre la divisione moltiplica per il reciproco della seconda frazione. Tali regole discendono dalla definizione stessa di frazione come quoziente di interi.
Come usare questo calcolatore di frazioni
- Inserisci numeratore e denominatore della prima frazione. I denominatori non possono essere zero e i valori inseriti vengono trattati come numeri interi.
- Scegli l'operazione: somma, sottrazione, moltiplicazione o divisione.
- Inserisci numeratore e denominatore della seconda frazione. Nella divisione anche il numeratore della seconda frazione non può essere zero.
- Leggi il risultato semplificato e il suo equivalente decimale. Nei risultati negativi il segno è portato dal numeratore.
Le formule delle operazioni fra frazioni
Addizione e sottrazione usano la moltiplicazione incrociata per ottenere un denominatore comune: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd) e a/b - c/d = (ad - cb) / (bd). Il risultato viene poi ridotto ai minimi termini.
La moltiplicazione procede in linea retta: a/b x c/d = (ac) / (bd). La divisione moltiplica invece per il reciproco: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc), il che richiede che c sia diverso da zero.
Esempio svolto (addizione): 1/2 + 1/3. Moltiplica in croce: (1 x 3 + 1 x 2) / (2 x 3) = (3 + 2) / 6 = 5/6. Il MCD di 5 e 6 è 1, dunque 5/6 è già ai minimi termini; in forma decimale vale 0,833333 (arrotondato a sei cifre).
Esempio svolto (divisione): (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. Dividere per una frazione minore di 1 produce un risultato maggiore del valore di partenza.
Errori comuni
- Sommare separatamente numeratori e denominatori: 1/2 + 1/3 non fa 2/5, occorre prima un denominatore comune.
- Dimenticare di invertire la seconda frazione nella divisione: (a/b) / (c/d) equivale ad a/b x d/c e non ad a/b x c/d.
- Non semplificare il risultato: 4/8 e 1/2 sono uguali, ma per convenzione la risposta si dà ai minimi termini.
- Semplificare attraverso una somma: (2 + 3)/2 non si riduce cancellando i 2, poiché la semplificazione vale solo per i fattori comuni di un prodotto.
- Credere che un denominatore più grande indichi una frazione più grande: 1/8 è minore di 1/4, perché l'intero è diviso in più parti.
Domande frequenti
Come si sommano frazioni con denominatori diversi?
Riscrivi entrambe le frazioni con un denominatore comune, poi somma i numeratori. Con la moltiplicazione incrociata: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd). Per esempio, 1/2 + 1/3 = (1x3 + 1x2) / (2x3) = 5/6. Infine semplifica il risultato dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore.
Come si divide una frazione per un'altra?
Moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda: (a/b) / (c/d) = (a x d) / (b x c). Per esempio, (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. La divisione fra frazioni è definita soltanto quando la seconda frazione è diversa da zero.
Come si riduce una frazione ai minimi termini?
Dividi numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore (MCD). Per esempio, il MCD di 8 e 12 è 4, dunque 8/12 si semplifica in 2/3. Una frazione è ai minimi termini quando l'unico intero positivo che divide sia il numeratore sia il denominatore è 1.
Che cos'è una frazione impropria?
Una frazione impropria ha un numeratore il cui valore assoluto è maggiore o uguale al denominatore, come 3/2 oppure 7/4. Le frazioni improprie sono risultati validi e possono essere riscritte come numeri misti: 3/2 = 1 1/2 e 7/4 = 1 3/4. Entrambe le forme rappresentano lo stesso valore.
Perché a volte il risultato è negativo?
Una frazione è negativa quando numeratore e denominatore hanno segni opposti, oppure quando una sottrazione produce un numeratore inferiore a zero. Per convenzione questo calcolatore colloca il segno negativo sul numeratore e mantiene positivo il denominatore, mostrando quindi -1/2 anziché 1/-2.
Il denominatore di una frazione può essere zero?
No. La divisione per zero non è definita, perciò una frazione con denominatore nullo non ha valore. Questo calcolatore non restituisce alcun risultato se uno dei due denominatori è zero, oppure se dividi per una frazione il cui numeratore è zero (poiché tale frazione vale zero).
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Fraction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST Handbook 44, Appendix C: General Tables of Units of Measurement (standard fraction conventions). nist.gov.