Koordinat pada lingkaran satuan: (cos theta, sin theta)
Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari tepat 1 yang berpusat di titik asal (0,0) sebuah bidang koordinat. Untuk sembarang sudut theta yang diukur berlawanan arah jarum jam mulai dari sumbu x positif, menarik garis dari titik asal pada sudut itu lalu mencari perpotongannya dengan lingkaran akan menghasilkan sebuah titik yang absisnya sama dengan cos(theta) dan ordinatnya sama dengan sin(theta) -- langsung, tanpa penskalaan apa pun, karena jari-jari lingkarannya bernilai 1.
Inilah definisi geometris yang melandasi setiap identitas trigonometri: menurut definisinya, kosinus adalah absis pada lingkaran satuan untuk sudut tertentu, sedangkan sinus adalah ordinatnya. Tangen menyusul langsung sebagai perbandingan keduanya: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), yang secara geometris melambangkan kemiringan garis dari titik asal menuju titik tersebut pada lingkaran.
Tanda per kuadran: di mana sinus dan kosinus positif atau negatif
Bidang koordinat terbagi menjadi empat kuadran oleh sumbu x dan sumbu y, dan karena sinus dan kosinus tidak lain adalah ordinat dan absis sebuah titik pada lingkaran satuan, tandanya di tiap kuadran mengikuti langsung tanda koordinat di kuadran tersebut.
Pola ini kadang diingat lewat jembatan keledai “All Students Take Calculus”, yang menunjuk fungsi mana yang bernilai positif di tiap kuadran bila ditelusuri berlawanan arah jarum jam mulai dari kuadran I: All -- ketiga fungsi positif di kuadran I, Students -- hanya sinus yang positif di kuadran II, Take -- hanya tangen yang positif di kuadran III, dan Calculus -- hanya kosinus yang positif di kuadran IV.
| Kuadran | Rentang sudut | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | positif | positif | positif |
| II | 90°-180° | positif | negatif | negatif |
| III | 180°-270° | negatif | negatif | positif |
| IV | 270°-360° | negatif | positif | negatif |
Sudut acuan: mencari nilai eksak di luar kuadran I
Sudut acuan adalah sudut lancip, selalu antara 0 dan 90 derajat, yang terbentuk antara sisi terminal suatu sudut dan titik terdekat pada sumbu x. Berkat sudut acuan, nilai sinus, kosinus, atau tangen eksak dari sudut mana pun dapat dicari dengan mengaitkannya kembali ke salah satu dari lima sudut baku di kuadran I, lalu membubuhkan tanda yang sesuai dengan kuadran tempat sudut aslinya berada.
Sebagai contoh, sudut 150 derajat berada di kuadran II, dan sudut acuannya adalah 180 - 150 = 30 derajat. Karena sinus positif di kuadran II, sin(150 derajat) sama dengan positif sin(30 derajat) = 0,5. Sebaliknya, kosinus negatif di kuadran II, sehingga cos(150 derajat) sama dengan negatif cos(30 derajat), kira-kira -0,8660. Sudut acuan menyediakan besarannya; kuadran menyediakan tandanya.
Tabel baku 0/30/45/60/90 derajat
Lima sudut -- 0, 30, 45, 60, dan 90 derajat, semuanya di kuadran I -- memiliki nilai sinus dan kosinus yang dapat dinyatakan sebagai bilangan eksak alih-alih desimal panjang, dan kelimanya menjadi fondasi untuk mencari nilai trigonometri eksak pada setiap sudut baku lainnya lewat sudut acuan. Tabel di bawah ini memuat bentuk eksak sekaligus hampiran desimalnya.
Perhatikan kesetangkupannya: nilai sinus dari 0 hingga 90 derajat (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) persis sama dengan nilai kosinus dalam urutan terbalik, akibat langsung dari sifat sinus dan kosinus sebagai fungsi yang saling berpenyiku -- sin(theta) = cos(90 derajat - theta) untuk sembarang sudut theta.
| Sudut | sin theta (eksak) | sin theta (desimal) | cos theta (eksak) | cos theta (desimal) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | sqrt(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0,7071 | sqrt(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Sudut koterminal dan melampaui satu putaran
Sudut yang lebih besar daripada 360 derajat, maupun sudut negatif, tetap bersesuaian dengan satu titik tertentu pada lingkaran satuan -- keduanya sekadar melilit lingkaran satu kali atau lebih. Sudut koterminal adalah sudut setara yang berada dalam satu putaran 0 hingga 360 derajat, yang diperoleh dengan menambah atau mengurangi kelipatan 360 derajat sampai hasilnya jatuh dalam rentang tersebut.
Sebagai contoh, sudut 405 derajat memiliki sudut koterminal 405 - 360 = 45 derajat, artinya kedua sudut itu menunjuk lokasi yang persis sama pada lingkaran satuan sehingga nilai sinus, kosinus, dan tangennya identik. Begitu pula, sudut -30 derajat memiliki sudut koterminal -30 + 360 = 330 derajat, yang jatuh di kuadran IV.
Pertanyaan yang sering diajukan
Berapa koordinat sebuah titik pada lingkaran satuan untuk sudut tertentu?
Untuk sembarang sudut theta yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif, titik yang bersesuaian pada lingkaran satuan berkoordinat persis (cos theta, sin theta) -- absisnya selalu kosinus sudut itu dan ordinatnya selalu sinusnya, tanpa penskalaan tambahan apa pun, karena jari-jari lingkarannya bernilai 1.
Berapa nilai eksak sin(60 derajat)?
sin(60 derajat) sama dengan akar kuadrat dari 3 dibagi 2, sebuah nilai eksak yang kira-kira setara dengan 0,8660. Ko-fungsi penyikunya, cos(60 derajat), bernilai tepat 1/2 = 0,5, selaras dengan sin(60 derajat) = cos(90 derajat - 60 derajat) = cos(30 derajat).
Bagaimana cara mencari sudut acuan?
Sudut acuan adalah sudut lancip antara sisi terminal suatu sudut dan sumbu x terdekat. Di kuadran II, kurangkan sudut itu dari 180 derajat; di kuadran III, kurangkan 180 derajat dari sudut itu; di kuadran IV, kurangkan sudut itu dari 360 derajat. Untuk 150 derajat (kuadran II), sudut acuannya adalah 180 - 150 = 30 derajat.
Mengapa kosinus bernilai negatif di kuadran II?
Karena kosinus sama dengan absis sebuah titik pada lingkaran satuan, sedangkan setiap titik di kuadran II (sudut antara 90 dan 180 derajat) memiliki absis negatif lantaran terletak di sebelah kiri sumbu y. Sinus tetap positif di sana, sebab titik-titik kuadran II masih berordinat positif.
Apa itu sudut koterminal?
Sudut koterminal adalah sudut yang mendarat pada titik yang persis sama di lingkaran satuan setelah dikurangi (atau ditambah) sejumlah bulat putaran penuh 360 derajat. Sudut 405 derajat memiliki sudut koterminal 405 - 360 = 45 derajat, karena keduanya menggambarkan posisi yang sama pada lingkaran sehingga nilai sinus, kosinus, dan tangennya identik.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).