Coordonnées sur le cercle trigonométrique : (cos theta, sin theta)
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon exactement 1, centré sur l'origine (0,0) d'un plan de coordonnées. Pour tout angle theta, mesuré dans le sens antihoraire à partir de l'axe des x positif, tracer une ligne depuis l'origine selon cet angle et trouver où elle croise le cercle donne un point dont la coordonnée x est égale à cos(theta) et dont la coordonnée y est égale à sin(theta) -- directement, sans mise à l'échelle nécessaire, car le rayon du cercle est 1.
C'est la définition géométrique qui sous-tend chaque identité trigonométrique : le cosinus est, par définition, la coordonnée x sur le cercle trigonométrique pour un angle donné, et le sinus est la coordonnée y. La tangente en découle directement comme le rapport des deux : tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), qui représente géométriquement la pente de la ligne allant de l'origine à ce point du cercle.
Signes par quadrant : où le sinus et le cosinus sont positifs ou négatifs
Le plan de coordonnées est divisé en quatre quadrants par les axes x et y, et puisque le sinus et le cosinus ne sont que les coordonnées y et x d'un point sur le cercle trigonométrique, leurs signes dans chaque quadrant découlent directement du signe des coordonnées dans ce quadrant.
Ce schéma est parfois retenu grâce au moyen mnémotechnique « Tous les Sorciers Trouvent leur Chapeau », qui indique quelles fonctions sont positives dans chaque quadrant en se déplaçant dans le sens antihoraire à partir du quadrant I : les trois fonctions sont positives dans le quadrant I, seul le Sinus est positif dans le quadrant II, seule la Tangente est positive dans le quadrant III, et seul le Cosinus est positif dans le quadrant IV.
| Quadrant | Plage d'angle | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | positif | positif | positif |
| II | 90°-180° | positif | négatif | négatif |
| III | 180°-270° | négatif | négatif | positif |
| IV | 270°-360° | négatif | positif | négatif |
Angles de référence : trouver des valeurs exactes hors du quadrant I
Un angle de référence est l'angle aigu, toujours compris entre 0 et 90 degrés, formé entre le côté terminal d'un angle et le point le plus proche sur l'axe des x. Les angles de référence permettent de trouver le sinus, le cosinus ou la tangente exacts de n'importe quel angle en le rattachant à l'un des cinq angles standards du quadrant I, puis en appliquant le signe correct selon le quadrant où se trouve réellement l'angle d'origine.
Par exemple, un angle de 150 degrés se trouve dans le quadrant II, et son angle de référence est 180 - 150 = 30 degrés. Puisque le sinus est positif dans le quadrant II, sin(150 degrés) est égal à sin(30 degrés) positif = 0,5. Le cosinus est négatif dans le quadrant II, donc cos(150 degrés) est égal à cos(30 degrés) négatif, soit environ -0,8660. L'angle de référence fournit la magnitude ; le quadrant fournit le signe.
Le tableau standard des 0/30/45/60/90 degrés
Cinq angles -- 0, 30, 45, 60 et 90 degrés, tous dans le quadrant I -- ont des valeurs de sinus et de cosinus exprimables sous forme de nombres exacts plutôt que de longues décimales, et ils constituent le fondement pour trouver les valeurs trigonométriques exactes de tout autre angle standard via les angles de référence. Le tableau ci-dessous liste à la fois la forme exacte et l'approximation décimale pour chacun.
Remarquez la symétrie : les valeurs du sinus de 0 à 90 degrés (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) sont exactement les valeurs du cosinus dans l'ordre inverse, une conséquence directe du fait que le sinus et le cosinus sont des fonctions complémentaires -- sin(theta) = cos(90 degrés - theta) pour tout angle theta.
| Angle | sin theta (exact) | sin theta (décimal) | cos theta (exact) | cos theta (décimal) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | sqrt(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0,7071 | sqrt(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Angles coterminaux et au-delà d'une rotation complète
Les angles supérieurs à 360 degrés, ou les angles négatifs, correspondent toujours à un point précis du cercle trigonométrique -- ils font simplement le tour du cercle une ou plusieurs fois de plus. Un angle coterminal est l'angle équivalent dans une seule rotation de 0 à 360 degrés, obtenu en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 360 degrés jusqu'à ce que le résultat se situe dans cette plage.
Par exemple, un angle de 405 degrés a un angle coterminal de 405 - 360 = 45 degrés, ce qui signifie que les deux angles pointent vers exactement le même emplacement sur le cercle trigonométrique et partagent donc des valeurs de sinus, de cosinus et de tangente identiques. De même, un angle de -30 degrés a un angle coterminal de -30 + 360 = 330 degrés, qui se trouve dans le quadrant IV.
Questions fréquentes
Quelles sont les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique pour un angle donné ?
Pour tout angle theta mesuré dans le sens antihoraire depuis l'axe des x positif, le point correspondant sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées exactement (cos theta, sin theta) -- la coordonnée x est toujours le cosinus de l'angle, et la coordonnée y est toujours le sinus de l'angle, sans mise à l'échelle supplémentaire nécessaire puisque le rayon du cercle est 1.
Quelle est la valeur exacte de sin(60 degrés) ?
sin(60 degrés) est égal à la racine carrée de 3 divisée par 2, une valeur exacte d'environ 0,8660. Sa cofonction complémentaire, cos(60 degrés), est égale exactement à 1/2 = 0,5, ce qui est cohérent avec sin(60 degrés) = cos(90 degrés - 60 degrés) = cos(30 degrés).
Comment trouver un angle de référence ?
Un angle de référence est l'angle aigu entre le côté terminal d'un angle et l'axe des x le plus proche. Dans le quadrant II, soustrayez l'angle de 180 degrés ; dans le quadrant III, soustrayez 180 degrés de l'angle ; dans le quadrant IV, soustrayez l'angle de 360 degrés. Pour 150 degrés (quadrant II), l'angle de référence est 180 - 150 = 30 degrés.
Pourquoi le cosinus est-il négatif dans le quadrant II ?
Parce que le cosinus est égal à la coordonnée x d'un point sur le cercle trigonométrique, et que tout point du quadrant II (angles entre 90 et 180 degrés) a une coordonnée x négative, se trouvant à gauche de l'axe des y. Le sinus y reste positif, car les points du quadrant II ont toujours une coordonnée y positive.
Qu'est-ce qu'un angle coterminal ?
Un angle coterminal est un angle qui aboutit exactement au même point du cercle trigonométrique après avoir été réduit (ou étendu) d'un nombre entier de rotations complètes de 360 degrés. Un angle de 405 degrés a un angle coterminal de 405 - 360 = 45 degrés, puisque les deux décrivent la même position sur le cercle et partagent donc des valeurs de sinus, de cosinus et de tangente identiques.
Références
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).