Umrechnungstabelle für Winkeleinheiten
Jede Einheit als Bruchteil der vollen Umdrehung, mit ihrem Wert in Grad und Radiant.
| Einheit | Grad | Radiant | Anteil einer Umdrehung |
|---|---|---|---|
| 1 Umdrehung | 360 | 6,2831853 | 1 |
| 1 Grad | 1 | 0,017453293 | 1/360 |
| 1 Gon | 0,9 | 0,015707963 | 1/400 |
| 1 Radiant | 57,295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 Bogenminute | 0,016666667 | 0,00029088821 | 1/21.600 |
| 1 Bogensekunde | 0,00027777778 | 0,0000048481368 | 1/1.296.000 |
| 1 Milliradiant | 0,057295780 | 0,001 | 1/(2000π) |
- Alle Faktoren dieser Tabelle sind per Definition exakt. Die angezeigten Dezimalwerte sind gerundet, aber die zugrunde liegenden Beziehungen — 360 Grad, 400 Gon und 2π Radiant je Umdrehung — tragen keinerlei Messunsicherheit.
- Der hier verwendete Milliradiant ist der echte Winkel-Milliradiant, 1/1000 Radiant. Mehrere Schießdisziplinen verwenden ein leicht abweichendes Mil: Das NATO-Mil teilt die Umdrehung in 6.400 statt in 6.283,19 Teile — prüfen Sie also vor dem Umrechnen, welches ein Zielfernrohr oder Absehen meint.
- Trigonometrische Funktionen in Tabellenkalkulationen und Programmiersprachen erwarten fast immer Radiant. Ihnen Grad zu übergeben, ist eine der häufigsten Ursachen für stillschweigend falsche Geometrie.
Welche Winkeleinheiten sind gebräuchlich?
Ein Winkel misst eine Drehung, und jede Einheit ist ein Bruchteil der vollen Umdrehung. Das Grad teilt die Umdrehung in 360 Teile — eine Konvention aus der babylonischen Astronomie, die sich hält, weil 360 durch so viele Zahlen ganzzahlig teilbar ist. Der Radiant teilt sie in 2π Teile und ist die SI-Einheit: Ein Radiant ist der Winkel, der einen Bogen von der Länge des Radius aufspannt.
Der Radiant ist keine willkürliche Wahl. Die Analysis setzt ihn voraus — die Ableitung von sin x ist nur dann cos x, wenn x im Bogenmaß steht — und dasselbe gilt für die Formeln für Bogenlänge und Kreissektorfläche. Deshalb muss ein in Grad eingegebener Winkel umgerechnet werden, bevor eine davon greift.
Das Gon, auch Neugrad genannt, teilt die Umdrehung in 400 Teile, sodass ein rechter Winkel exakt 100 gon beträgt. Es wird im Vermessungswesen verwendet, besonders in Kontinentaleuropa. Bogenminuten und Bogensekunden unterteilen das Grad durch 60 und 3.600 für Astronomie und Navigation, und der Milliradiant dient in Optik und Ballistik, wo ein Milliradiant auf einen Kilometer etwa einen Meter aufspannt.
So verwenden Sie diesen Winkel-Umrechner
- Geben Sie den Winkel ein, den Sie umrechnen möchten. Negative Werte sind zulässig: Eine Peilung oder eine Drehung kann in beide Richtungen laufen.
- Wählen Sie seine Einheit: Grad, Radiant, Gon, Umdrehungen, Bogenminuten, Bogensekunden oder Milliradiant.
- Lesen Sie den entsprechenden Wert in allen anderen Einheiten gleichzeitig ab.
- Verwenden Sie Radiant für alles, was in eine trigonometrische Formel, eine Ableitung oder eine Bogenlängenrechnung eingeht.
Die Umrechnungsfaktoren hinter dem Winkel-Umrechner
Der Wert wird in Radiant umgerechnet und von dort in jede Zieleinheit. Da eine volle Umdrehung zugleich 2π Radiant, 360 Grad, 400 Gon und 1 Umdrehung ist, folgen alle Faktoren exakt aus diesen Identitäten.
Beispiel: 45° in Radiant sind 45 × π/180 = π/4 = 0,78539816 rad. In Gon: 45 × 400/360 = exakt 50 gon. In Umdrehungen: 45/360 = exakt 0,125. In Bogensekunden: 45 × 3.600 = exakt 162.000.
Häufige Fehler
- Grad an eine trigonometrische Funktion übergeben, die Radiant erwartet. sin(30) ergibt −0,988, wenn 30 als Radiant gelesen wird — nicht die gewünschten 0,5.
- Den Winkel-Milliradiant (1/1000 rad, 6.283,19 je Umdrehung) mit dem NATO-Mil (6.400 je Umdrehung) verwechseln. Sie unterscheiden sich um rund 1,9 %.
- Bogenminuten als Zeitminuten lesen. Eine Bogenminute ist 1/60 Grad; die Zeichen ′ und ″ bedeuten hier Winkel, nicht Dauer.
- Annehmen, ein rechter Winkel sei in jeder Einheit 90. Er ist 90°, aber 100 gon, π/2 rad und 0,25 Umdrehungen.
Häufig gestellte Fragen
Wie viel Grad ist 1 Radiant?
57,295780 Grad, also 180/π. Die Beziehung folgt daraus, dass eine volle Umdrehung zugleich 360 Grad und 2π Radiant ist, ein Radiant also 360/(2π) = 180/π Grad. Die Umkehrung lautet 1° = π/180 ≈ 0,017453293 rad.
Warum verwenden Mathematiker Radiant statt Grad?
Weil die Analysis nur im Bogenmaß sauber funktioniert. Die Ableitung von sin x ist cos x, und die Kleinwinkelnäherung sin x ≈ x gilt nur, wenn x in Radiant gemessen wird. Bogenlänge (rθ) und Sektorfläche (½r²θ) setzen es ebenfalls voraus. In Grad bekommt jede dieser Formeln einen Faktor π/180.
Wofür wird das Gon verwendet?
Vor allem im Vermessungswesen in Kontinentaleuropa. Die Teilung der Umdrehung in 400 Teile macht einen rechten Winkel zu exakt 100 gon, sodass Quadranten und Neigungen auf runde Zahlen fallen — praktisch beim Ablesen eines Theodolits. Es heißt auch Neugrad oder Grad.
Wie viele Bogensekunden hat ein Grad?
3.600. Ein Grad teilt sich in 60 Bogenminuten und jede Bogenminute in 60 Bogensekunden, macht 3.600 Bogensekunden je Grad und 1.296.000 in einer vollen Umdrehung. Astronomen nutzen diese Unterteilungen, weil Himmelspositionen eine weit feinere Auflösung verlangen, als das Grad bietet.
Was ist ein Milliradiant in der Praxis?
Ein Tausendstel Radiant, das auf einen Kilometer fast genau einen Meter aufspannt — genau die Eigenschaft, die ihn in Optik und Entfernungsmessung nützlich macht. Zu beachten ist, dass einige Schießdisziplinen ein Mil als 1/6400 Umdrehung definieren, was rund 1,9 % abweicht.
Quellenangaben
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.