الإحداثيات على دائرة الوحدة: (جتا θ، جا θ)
دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي 1 بالضبط، مركزها نقطة الأصل (0,0) في مستوى إحداثي. لأي زاوية θ، تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من المحور السيني الموجب، فإن رسم خط من نقطة الأصل بتلك الزاوية وإيجاد نقطة تقاطعه مع الدائرة يعطي نقطة إحداثيها السيني يساوي جتا(θ) وإحداثيها الصادي يساوي جا(θ) -- مباشرة، دون حاجة إلى أي تحجيم، لأن نصف قطر الدائرة يساوي 1.
هذا هو التعريف الهندسي الذي يقوم عليه كل متطابقة مثلثية: جيب التمام هو، بحكم التعريف، الإحداثي السيني على دائرة الوحدة عند زاوية معطاة، والجيب هو الإحداثي الصادي. ويأتي الظل مباشرة كنسبة الاثنين: ظا(θ) = جا(θ) / جتا(θ)، وهو ما يمثّل هندسيًا ميل الخط من نقطة الأصل إلى تلك النقطة على الدائرة.
إشارات الأرباع: أين يكون الجيب وجيب التمام موجبين أو سالبين
يُقسَّم المستوى الإحداثي إلى أربعة أرباع بواسطة المحورين السيني والصادي، ولأن الجيب وجيب التمام هما ببساطة الإحداثيان الصادي والسيني لنقطة على دائرة الوحدة، فإن إشارتيهما في كل ربع تتبع مباشرة إشارة الإحداثيات في ذلك الربع.
يُتذكَّر هذا النمط أحيانًا بعبارة «All Students Take Calculus»، في إشارة إلى الدوال الموجبة في كل ربع بالتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة من الربع الأول: الدوال الثلاث موجبة كلها في الربع الأول، والجيب فقط موجب في الربع الثاني، والظل فقط موجب في الربع الثالث، وجيب التمام فقط موجب في الربع الرابع.
| الربع | مدى الزاوية | جا θ | جتا θ | ظا θ |
|---|---|---|---|---|
| الأول | 0°-90° | موجب | موجب | موجب |
| الثاني | 90°-180° | موجب | سالب | سالب |
| الثالث | 180°-270° | سالب | سالب | موجب |
| الرابع | 270°-360° | سالب | موجب | سالب |
الزوايا المرجعية: إيجاد القيم الدقيقة خارج الربع الأول
الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة، تتراوح دائمًا بين 0 و90 درجة، المتكوّنة بين الضلع الطرفي للزاوية وأقرب نقطة على المحور السيني. تتيح الزوايا المرجعية إيجاد الجيب أو جيب التمام أو الظل الدقيق لأي زاوية بربطها بإحدى الزوايا القياسية الخمس في الربع الأول، ثم تطبيق الإشارة الصحيحة حسب الربع الذي تقع فيه الزاوية الأصلية فعليًا.
فمثلًا، زاوية مقدارها 150 درجة تقع في الربع الثاني، وزاويتها المرجعية 180 - 150 = 30 درجة. وبما أن الجيب موجب في الربع الثاني، فإن جا(150 درجة) يساوي موجب جا(30 درجة) = 0.5. أما جيب التمام فسالب في الربع الثاني، لذا فإن جتا(150 درجة) يساوي سالب جتا(30 درجة)، أي ما يقارب -0.8660. الزاوية المرجعية تعطي المقدار؛ والربع يعطي الإشارة.
جدول الدرجات القياسي 0/30/45/60/90
خمس زوايا -- 0 و30 و45 و60 و90 درجة، كلها ضمن الربع الأول -- لها قيم جيب وجيب تمام يمكن التعبير عنها كأرقام دقيقة بدلًا من كسور عشرية طويلة، وتشكّل أساس إيجاد القيم المثلثية الدقيقة عند كل زاوية قياسية أخرى عبر الزوايا المرجعية. يسرد الجدول أدناه الصيغة الدقيقة والتقريب العشري لكل منها.
لاحظ التناظر: قيم الجيب من 0 إلى 90 درجة (0، 1/2، جذر(2)/2، جذر(3)/2، 1) هي بالضبط قيم جيب التمام بترتيب معكوس، نتيجة مباشرة لكون الجيب وجيب التمام دالتين متتامتين -- جا(θ) = جتا(90 درجة - θ) لأي زاوية θ.
| الزاوية | جا θ (دقيق) | جا θ (عشري) | جتا θ (دقيق) | جتا θ (عشري) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0.5 | جذر(3)/2 | 0.8660 |
| 45° | جذر(2)/2 | 0.7071 | جذر(2)/2 | 0.7071 |
| 60° | جذر(3)/2 | 0.8660 | 1/2 | 0.5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
الزوايا متحدة الطرف وتجاوز الدورة الواحدة
الزوايا الأكبر من 360 درجة، أو الزوايا السالبة، لا تزال تقابل نقطة محددة على دائرة الوحدة -- فهي ببساطة تلتف حول الدائرة دورة إضافية أو أكثر. الزاوية متحدة الطرف هي الزاوية المكافئة ضمن دورة واحدة من 0 إلى 360 درجة، تُوجد بإضافة أو طرح مضاعفات 360 درجة حتى تقع النتيجة ضمن ذلك المدى.
فمثلًا، زاوية مقدارها 405 درجة لها زاوية متحدة الطرف تساوي 405 - 360 = 45 درجة، أي أن الزاويتين تشيران إلى الموضع نفسه بالضبط على دائرة الوحدة وبالتالي تتشاركان قيم الجيب وجيب التمام والظل نفسها. وبالمثل، زاوية مقدارها -30 درجة لها زاوية متحدة الطرف تساوي -30 + 360 = 330 درجة، والتي تقع في الربع الرابع.
الأسئلة الشائعة
ما إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة عند زاوية معطاة؟
لأي زاوية θ تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني الموجب، فإن النقطة المقابلة على دائرة الوحدة إحداثياتها (جتا θ، جا θ) تمامًا -- الإحداثي السيني هو دائمًا جيب تمام الزاوية، والإحداثي الصادي هو دائمًا جيب الزاوية، دون أي تحجيم إضافي لازم لأن نصف قطر الدائرة يساوي 1.
ما القيمة الدقيقة لـ جا(60 درجة)؟
تساوي جا(60 درجة) الجذر التربيعي لـ 3 مقسومًا على 2، وهي قيمة دقيقة تعادل تقريبًا 0.8660. دالتها المتممة، جتا(60 درجة)، تساوي بالضبط 1/2 = 0.5، بما يتوافق مع جا(60 درجة) = جتا(90 درجة - 60 درجة) = جتا(30 درجة).
كيف تجد زاوية مرجعية؟
الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة بين الضلع الطرفي للزاوية وأقرب محور سيني. في الربع الثاني، اطرح الزاوية من 180 درجة؛ وفي الربع الثالث، اطرح 180 درجة من الزاوية؛ وفي الربع الرابع، اطرح الزاوية من 360 درجة. لزاوية 150 درجة (الربع الثاني)، الزاوية المرجعية = 180 - 150 = 30 درجة.
لماذا يكون جيب التمام سالبًا في الربع الثاني؟
لأن جيب التمام يساوي الإحداثي السيني لنقطة على دائرة الوحدة، وكل نقطة في الربع الثاني (زوايا بين 90 و180 درجة) لها إحداثي سيني سالب، وتقع إلى يسار المحور الصادي. ويبقى الجيب موجبًا هناك، إذ لا تزال نقاط الربع الثاني لها إحداثي صادي موجب.
ما هي الزاوية متحدة الطرف؟
الزاوية متحدة الطرف هي زاوية تقع على النقطة نفسها بالضبط من دائرة الوحدة بعد إنقاصها (أو زيادتها) بعدد صحيح من الدورات الكاملة البالغة 360 درجة. زاوية مقدارها 405 درجة لها زاوية متحدة الطرف تساوي 405 - 360 = 45 درجة، إذ تصف كلتاهما الموضع نفسه على الدائرة وبالتالي تتشاركان قيم الجيب وجيب التمام والظل نفسها.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).