1. Yöntem: taban çarpı yükseklik, ikiye bölünür
En bilinen üçgen alanı formülü alan = 1/2 x taban x yükseklik biçimindedir; buradaki yükseklik, seçilen tabandan karşı köşeye inen dik uzaklıktır -- eğik bir kenarın uzunluğu değil. Bu yöntem, bir taban ile ona ait dik yüksekliğin her ikisinin de bilindiği ya da doğrudan ölçülebildiği her durumda kullanılır; dik üçgenlerde ve kareli kâğıda ya da yüksekliği işaretlenmiş şekillere çizilmiş üçgenlerde bu durum sıkça karşımıza çıkar.
Çözümlü örnek: bir üçgenin tabanı 8 birim, bu tabana ait dik yüksekliği ise 5 birim olsun. Formülü uygularsak: alan = 1/2 x 8 x 5 = 1/2 x 40 = 20 birim kare. Bu yöntem ne trigonometri ne de üçgenin açıları veya diğer iki kenar uzunluğu hakkında bilgi gerektirir -- yalnızca taban olarak seçilen tek kenar ile ona dik olarak ölçülen doğrusal yükseklik yeterlidir.
2. Yöntem: yalnızca üç kenardan Heron formülü
Bir üçgenin yalnızca üç kenar uzunluğu biliniyor, yükseklik ya da açı doğrudan verilmiyorsa Heron formülü alanı bu üç uzunluktan hesaplar. Formül önce yarı çevreyi bulur, s = (a + b + c) / 2, ardından alanı s(s - a)(s - b)(s - c) ifadesinin karekökü olarak verir.
Çözümlü örnek: bir üçgenin kenarları a = 9, b = 10 ve c = 11 olsun. 1. adım: yarı çevre s = (9 + 10 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15. 2. adım: alan = 15 x (15-9) x (15-10) x (15-11) çarpımının karekökü = 15 x 6 x 5 x 4 çarpımının karekökü = 1800 sayısının karekökü, yani yaklaşık 42,4264 birim kare. Heron formülünü uygulamadan önce üç uzunluğun gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını doğrulamakta yarar vardır: her kenar diğer ikisinin toplamından kısa olmalıdır (üçgen eşitsizliği) ve 9, 10 ile 11 bu koşulu sağlar.
3. Yöntem: iki kenar ve aralarındaki açıdan 1/2 x a x b x sin(C)
Bir üçgenin iki kenarı ile bunların arasındaki açı biliniyor, ancak dik yükseklik bilinmiyorsa trigonometrik alan formülü devreye girer: alan = 1/2 x a x b x sin(C). Burada a ile b bilinen iki kenar, C ise bu iki kenarın arasında kalan açıdır.
Çözümlü örnek: bir üçgenin kenarları a = 7 ve b = 10, aralarındaki açı ise C = 40 derece olsun. Formülü uygularsak: alan = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 derece) = 35 x sin(40 derece). sin(40 derece) yaklaşık 0,6428 olduğundan alan yaklaşık 35 x 0,6428 = 22,4976 birim karedir. Bu yöntem özellikle harita ölçümü ve seyrüsefer problemlerinde işe yarar; çünkü bu alanlarda ölçülmüş iki uzaklık ile aralarındaki açıyı elde etmek, dik bir yüksekliği elde etmekten çoğu zaman daha kolaydır.
Hangi yöntemi seçmelisiniz?
Bu üç yöntem aynı problemin birbiriyle yarışan çözümleri değildir -- her biri farklı bir ölçüm bileşimine uygundur ve eldeki veriye uyan yöntemi seçmek, doğrudan verilmemiş bir yüksekliği ya da açıyı önce hesaplamak gibi gereksiz ara adımlardan kurtarır.
| Bilinen değerler | En uygun yöntem | Formül |
|---|---|---|
| Taban ve dik yükseklik | Taban x yükseklik / 2 | alan = 1/2 x taban x yükseklik |
| Üç kenar uzunluğu (SSS), açı bilinmiyor | Heron formülü | alan = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2 |
| İki kenar ve aralarındaki açı (SAS) | Trigonometrik formül | alan = 1/2 x a x b x sin(C) |
Üçgenin alanını bulurken yapılan yaygın hatalar
Taban-yükseklik yönteminde en sık yapılan hata, dik yüksekliğin yerine eğik bir kenar uzunluğunun konmasıdır -- bu ikisi yalnızca üçgen tabanda dik açılı olduğunda eşittir, dolayısıyla başka durumlarda eğik kenarı kullanmak hesaplanan alanı şişirir. Yükseklik, seçilen tabana dik bir doğru boyunca ölçülmelidir; söz konusu doğru üçgenin çizili kenarlarından hiçbirine karşılık gelmese bile bu kural değişmez.
Trigonometrik yöntemde ise yaygın hata, iki bilinen kenarın arasında yer almayan bir açının kullanılmasıdır -- alan = 1/2 x a x b x sin(C) formülü, C açısının doğrudan a ile b kenarları arasında bulunmasını şart koşar, üçgenin diğer iki açısından birini değil. Üçgen eşitsizliğini ihlal eden üç uzunlukta (bir kenar diğer ikisinin toplamından uzun olduğunda) Heron formülü kullanılırsa negatif bir sayının karekökü alınmaya çalışılır; bu da böyle bir üçgenin var olmadığının işaretidir.
Sıkça Sorulan Sorular
Üçgenin alan formülü nedir?
En yaygın formül alan = 1/2 x taban x yükseklik biçimindedir; buradaki yükseklik, tabandan karşı köşeye inen dik uzaklıktır. Yalnızca üç kenar uzunluğu biliniyorsa alanı Heron formülü verir; iki kenar ile aralarındaki açı biliniyorsa alan = 1/2 x a x b x sin(C) geçerlidir. Üç formül de aynı üçgen için aynı alanı üretir.
Yalnızca üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Heron formülünü kullanın: önce yarı çevreyi hesaplayın, s = (a + b + c) / 2, ardından alan = s(s-a)(s-b)(s-c) ifadesinin karekökü. Kenarları 9, 10 ve 11 olan bir üçgende s = 15 olur ve alan = (15 x 6 x 5 x 4) çarpımının karekökü = 1800 sayısının karekökü, yani yaklaşık 42,4264 birim karedir.
İki kenarı ve bir açısı bilinen bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Trigonometrik formülü kullanın: alan = 1/2 x a x b x sin(C). Burada a ile b bilinen iki kenar, C ise bunların arasındaki açıdır. Kenarları 7 ve 10, aralarındaki açı 40 derece olan bir üçgende alan = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 derece), yani yaklaşık 22,4976 birim karedir.
Yüksekliği bilinmeyen bir üçgenin alanı bulunabilir mi?
Evet. Yalnızca üç kenar uzunluğu biliniyorsa Heron formülü alanı hiçbir yükseklik ölçümü olmadan bulur. İki kenar ile aralarındaki açı biliniyorsa 1/2 x a x b x sin(C) trigonometrik formülü de yüksekliğe gerek bırakmaz; çünkü aradaki açının sinüsü yüksekliğin yerini tutar.
Taban-yükseklik formülünde yükseklik neden dik olmak zorunda?
alan = 1/2 x taban x yükseklik formülü, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin köşegen boyunca ikiye kesilmesinden türetilir -- ve bu türetme yalnızca yükseklik tabana dik bir doğru boyunca ölçüldüğünde geçerlidir. Gerçek dik yüksekliğin yerine eğik bir kenar uzunluğu konursa hatalı ve olduğundan büyük bir alan elde edilir.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Triangle Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Geometry. Cengage Learning (triangle area formulas and the triangle inequality).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (the trigonometric area formula, 1/2 ab sin C).