Как понимать результаты логарифмирования
Три стандартных основания отвечают на разные вопросы об одном и том же числе. В таблице ниже они приведены для x = 100.
| Логарифм | Основание | Значение при x = 100 | Типичное применение |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2.71828... | 4.60517 | Математический анализ, непрерывный рост и распад |
| log10 | 10 | 2 | Экспоненциальная запись, децибелы, pH, порядки величин |
| log2 | 2 | 6.643856 | Информатика, теория информации (биты) |
- Для нуля и отрицательных чисел логарифмы не определены, а основание должно быть положительным и не равным 1.
- log_b(1) = 0 при любом основании, поскольку b^0 = 1; и log_b(b) = 1, поскольку b^1 = b.
- Логарифм отрицателен, когда аргумент лежит между 0 и 1: например, log_10(0,01) = -2.
- Обозначения зависят от области: в математике «log» без указания основания часто означает ln, а в технике и на большинстве калькуляторов — log10. Стандарт ISO 80000-2 рекомендует явные обозначения ln, lg и lb.
Что такое логарифм?
Логарифм числа x по основанию b, записываемый как log_b(x), — это показатель степени, в которую нужно возвести b, чтобы получить x: если b^y = x, то log_b(x) = y. Например, log_10(100) = 2, поскольку 10^2 = 100, и log_2(8) = 3, поскольку 2^3 = 8. Логарифмирование — операция, обратная возведению в степень.
На практике преобладают три основания. Натуральный логарифм (ln) берётся по основанию e (примерно 2,71828) и служит стандартом в математическом анализе, моделях роста и распада, а также в естественных науках. Десятичный логарифм (log10) лежит в основе экспоненциальной записи чисел и таких измерительных шкал, как децибелы и pH. Двоичный логарифм (log2) применяется во всей информатике — от анализа алгоритмов до теории информации, где он измеряет биты.
Логарифмы определены только для положительных чисел, а основание должно быть положительным и не равным 1. Не существует действительного числа y, при котором b^y было бы нулём или отрицательным, — поэтому log(0) и логарифмы отрицательных чисел не определены, а основание 1 не годится, так как единица в любой степени всегда равна 1.
Как пользоваться калькулятором логарифмов
- Введите число x, логарифм которого нужен. Оно должно быть положительным.
- Введите основание b. Оно должно быть положительным и не равным 1; обычные варианты — 10, 2 и e (примерно 2,71828).
- Считайте логарифм x по основанию b, вычисленный по формуле перехода к новому основанию.
- Сравните его с натуральным, десятичным и двоичным логарифмами того же числа, которые показаны рядом.
Формула перехода к новому основанию
Любой логарифм можно вычислить через логарифмы по другому основанию: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Именно по этому тождеству калькуляторы находят логарифмы по произвольным основаниям, располагая одним лишь натуральным логарифмом.
Разбор примера: log_2(8). Вычисляем ln(8) = 2,079442 и ln(2) = 0,693147; их частное равно 2,079442 / 0,693147 = 3. Проверка: 2^3 = 8. Ещё пример: log_10(100) = 2, поскольку 10^2 = 100; для того же входного числа калькулятор также выдаст ln(100) = 4,60517 и log_2(100) = 6,643856.
Из определения следуют основные алгебраические тождества: логарифм произведения равен сумме логарифмов, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); логарифм частного равен разности; а логарифм степени выносит показатель вперёд: log_b(x^k) = k log_b(x). Эти правила превращают умножение в сложение — ради этого логарифмические таблицы и создавались.
Частые ошибки
- Взятие логарифма от нуля или отрицательного числа — логарифмы определены только для положительных аргументов.
- Предположение, что log(x + y) равен log(x) + log(y); правило суммы относится к произведениям, а не к суммам: log(xy) = log(x) + log(y).
- Путаница с тем, какое основание подразумевает «log»: у разных калькуляторов и языков программирования оно разное (в JavaScript Math.log — натуральный логарифм).
- Запись log_b(x^k) как (log_b x)^k — правило степени выносит показатель вперёд множителем, а не переносит его на логарифм.
- Использование основания 1, для которого логарифм не существует, так как единица в любой степени равна 1.
Часто задаваемые вопросы
Чему равен логарифм 100 по основанию 10?
log_10(100) = 2, поскольку 10 в степени 2 равно 100. Десятичный логарифм считает множители-десятки, поэтому log_10(1000) = 3, а log_10(0,01) = -2.
Как посчитать логарифм по основанию, которого нет на калькуляторе?
Воспользуйтесь формулой перехода к новому основанию: log_b(x) = ln(x) / ln(b) или, что равносильно, log_10(x) / log_10(b). Например, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, и действительно 5^3 = 125.
Чем ln отличается от log?
ln всегда обозначает натуральный логарифм по основанию e (примерно 2,71828). Обозначение «log» неоднозначно: в чистой математике под ним нередко понимают натуральный логарифм, а в технике, химии и на большинстве карманных калькуляторов — основание 10. Стандарт ISO 80000-2 рекомендует во избежание двусмысленности писать ln для основания e, lg для основания 10 и lb для основания 2.
Почему нельзя взять логарифм отрицательного числа?
Потому что никакая действительная степень положительного основания не даёт отрицательного результата: при b > 0 величина b^y положительна для любого действительного y. Следовательно, log_b(x) не имеет действительного значения при x <= 0. (В комплексном анализе логарифмы отрицательных чисел определить можно, но они многозначны и выходят за рамки калькуляторов, работающих с действительными числами.)
Для чего используется log2?
Двоичный логарифм log_2 показывает, сколько удвоений требуется, чтобы дойти до числа, и потому фундаментален в информатике: двоичный поиск среди n упорядоченных элементов занимает примерно log_2(n) шагов, а log_2 даёт число битов, нужное для представления n различных значений. Например, log_2(1024) = 10, поэтому 10 битов адресуют 1024 значения.
Что означает логарифмическая шкала?
На логарифмической шкале значения расставлены по равным отношениям, а не по равным разностям: каждый шаг умножает величину на постоянный множитель. Децибелы, шкала магнитуд Рихтера и pH логарифмические — рост на 1 единицу pH означает уменьшение концентрации ионов водорода в десять раз. Логарифмические шкалы позволяют разместить на одной оси величины, охватывающие много порядков.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).