Как читать предпросмотр последовательности
Знак разности определяет, возрастает прогрессия, убывает или остаётся постоянной. Ниже это показано для первого члена, равного 3.
| Разность (d) | Поведение | Первые 5 членов (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (например, d = 4) | Возрастающая прогрессия | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Постоянная последовательность — каждый член равен a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (например, d = −4) | Убывающая прогрессия | 3, −1, −5, −9, −13 |
- Предпросмотр показывает до первых 8 членов; при n больше 8 многоточие (…) означает, что последовательность продолжается за пределами показанного, однако n-й член и сумма всё равно вычисляются точно для введённого вами полного n.
- В отличие от геометрической прогрессии, у арифметической прогрессии нет верхней или нижней границы того, насколько большими или малыми становятся члены с ростом n (если только d = 0), и не существует конечной «суммы до бесконечности» — частичная сумма Sₙ неограниченно растёт по модулю с ростом n (при d ≠ 0).
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это упорядоченный числовой ряд, в котором разность между каждым членом и предыдущим всегда равна одной и той же постоянной величине, называемой разностью прогрессии (d). Например, 3, 7, 11, 15, 19 — арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 4, поскольку каждый член больше предыдущего на 4.
Разность может быть положительной (возрастающая прогрессия), отрицательной (убывающая прогрессия) или нулевой (постоянная последовательность, все члены которой равны первому). Арифметические прогрессии описывают любой процесс, изменяющийся на одну и ту же фиксированную величину на каждом шаге: план накоплений с равными регулярными взносами, ряды зрительного зала с постоянным приростом числа мест или обратный отсчёт с фиксированным шагом.
Об арифметической прогрессии обычно спрашивают две вещи: значение конкретного члена (n-го члена) и сумму нескольких идущих подряд членов (частичную сумму, которую называют арифметическим рядом). Этот калькулятор вычисляет и то и другое по одним и тем же трём исходным величинам.
Как пользоваться калькулятором арифметической прогрессии
- Введите первый член прогрессии (a₁) — начальное значение.
- Введите разность прогрессии (d) — постоянную величину, прибавляемую к каждому члену для получения следующего. Для убывающей прогрессии укажите отрицательное число.
- Введите количество членов (n), для которого нужно найти n-й член и сумму.
- Считайте n-й член, сумму первых n членов и предпросмотр, показывающий до первых 8 членов последовательности.
Формулы арифметической прогрессии
n-й член арифметической прогрессии находят, отталкиваясь от первого члена и прибавляя разность (n − 1) раз, поскольку сам первый член не требует ни одного прибавления: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Разбор примера при a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Формула суммы первых n членов опирается на то, что сумма первого и последнего членов, второго и предпоследнего и так далее всегда одна и та же и равна (a₁ + aₙ). Отсюда получается замкнутая формула Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), или, что то же самое, Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Разбор примера: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Математическое предание приписывает эту формулу суммы юному Карлу Фридриху Гауссу: он, как рассказывают, сложил целые числа от 1 до 100, разбив их на пары 1+100, 2+99 и так далее — 50 пар по 101, что даёт 5050. Ровно эта логика разбиения на пары лежит в основе общей формулы, применяемой здесь.
Типичные ошибки
- Подстановка n вместо (n − 1) в формулу n-го члена: первый член (n = 1) не требует ни одного прибавления d, а не одного, ведь aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Путаница разности прогрессии со знаменателем прогрессии: в арифметической прогрессии на каждом шаге прибавляют фиксированную величину, а в геометрической — умножают на фиксированный множитель.
- Убеждение, будто для суммы нужно выписывать все члены: замкнутая формула Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) даёт сумму сразу, без поочерёдного сложения.
- Ввод нецелого количества членов: n должно быть целым положительным числом, обозначающим номер члена (1-й, 2-й, 3-й, …), а не дробным количеством.
Часто задаваемые вопросы
Как найти n-й член арифметической прогрессии?
Воспользуйтесь формулой aₙ = a₁ + (n − 1)d, где a₁ — первый член, d — разность прогрессии, а n — номер нужного члена. При a₁ = 3, d = 4 и n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Как найти сумму арифметической прогрессии?
Воспользуйтесь формулой Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), которая складывает первые n членов без поочерёдного сложения. При a₁ = 3, d = 4, n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
У арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов (каждый член = предыдущий + d). У геометрической постоянно отношение соседних членов (каждый член = предыдущий × r). Арифметическая прогрессия растёт линейно, а геометрическая растёт (или убывает) экспоненциально, когда модуль знаменателя не равен 1.
Может ли разность прогрессии быть отрицательной или нулевой?
Да. Отрицательная разность даёт убывающую прогрессию (например, 10, 7, 4, 1, −2 при d = −3). Нулевая разность даёт постоянную последовательность, все члены которой равны первому. Оба случая — полноценные арифметические прогрессии.
Как найти разность прогрессии по двум членам?
Вычтите любой член из непосредственно следующего за ним: d = aₙ₊₁ − aₙ. Если известны лишь два несоседних члена, aₘ и aₙ, используйте d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Источники
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.