Откуда берётся формула корней квадратного уравнения
Формула корней квадратного уравнения выводится из общего уравнения ax^2 + bx + c = 0 (где a не равно нулю) с помощью метода, называемого выделением полного квадрата. Деление каждого члена на a даёт x^2 + (b/a)x + c/a = 0, а перенос свободного члена в другую часть уравнения даёт x^2 + (b/a)x = -c/a. Прибавление (b/2a)^2 к обеим частям превращает левую часть в полный квадрат: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Упрощение правой части приведением к общему знаменателю даёт (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Извлечение квадратного корня из обеих частей (с учётом как положительного, так и отрицательного корня) даёт x + b/2a = плюс-минус квадратный корень из (b^2 - 4ac) / (2a), а выражение x даёт привычную формулу: x = (-b плюс-минус квадратный корень из b^2 - 4ac) / (2a). Каждый шаг -- обратимая алгебраическая операция, поэтому формула работает для любого квадратного уравнения с ненулевым старшим коэффициентом, а не только для тех, что аккуратно раскладываются на множители.
Дискриминант: что он говорит ещё до решения уравнения
Выражение под квадратным корнем, b^2 - 4ac, называется дискриминантом, и уже один только его знак определяет, какие корни имеет уравнение, без необходимости вычислять сами корни. Положительный дискриминант означает, что квадратный корень -- положительное действительное число, поэтому знак плюс-минус даёт два различных действительных значения x. Дискриминант, равный ровно нулю, означает, что слагаемое с квадратным корнем полностью исчезает, поэтому случаи «плюс» и «минус» сливаются в единственное значение x = -b / (2a).
Отрицательный дискриминант означает, что выражение под корнем отрицательно, а у отрицательного числа нет действительного квадратного корня -- только мнимый, поскольку квадратный корень из отрицательного числа определяется как действительное число, умноженное на i, где i -- мнимая единица, удовлетворяющая i^2 = -1. В этом случае формула всё равно даёт два ответа, но это пара комплексно-сопряжённых чисел вида p + qi и p - qi, а не действительные числа.
| Дискриминант (b^2 - 4ac) | Количество и тип корней | Поведение параболы |
|---|---|---|
| Положительный (> 0) | Два различных действительных корня | Пересекает ось x в двух точках |
| Нулевой (= 0) | Один повторяющийся действительный корень, x = -b / (2a) | Касается оси x ровно в одной точке (вершина) |
| Отрицательный (< 0) | Два комплексно-сопряжённых корня, p ± qi | Никогда не касается и не пересекает ось x |
Пример 1: два различных действительных корня (D > 0)
Решим уравнение x^2 - 3x + 2 = 0. Здесь a = 1, b = -3, c = 2. Дискриминант равен (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, он положителен, поэтому ожидаются два различных действительных корня. Применяя формулу: x = (3 плюс-минус квадратный корень из 1) / (2 x 1) = (3 плюс-минус 1) / 2. Отсюда x1 = (3 + 1) / 2 = 2 и x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Эти корни можно проверить, разложив исходное уравнение на множители: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), что равно нулю ровно при x = 1 или x = 2, подтверждая ответ формулы. Дополнительная проверка использует формулы Виета: сумма корней должна равняться -b/a = 3, и действительно 2 + 1 = 3; произведение должно равняться c/a = 2, и действительно 2 x 1 = 2.
Пример 2: один повторяющийся действительный корень (D = 0)
Решим уравнение x^2 - 4x + 4 = 0. Здесь a = 1, b = -4, c = 4. Дискриминант равен (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, поэтому ожидается единственный повторяющийся корень. Поскольку дискриминант равен нулю, формула сразу упрощается до x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Это уравнение раскладывается как (x - 2)^2 = 0, что подтверждает, что x = 2 -- единственный корень, взятый дважды (с кратностью 2). Геометрически парабола y = x^2 - 4x + 4 лишь касается оси x в своей вершине (2, 0), а не пересекает её, -- это и есть визуальный признак нулевого дискриминанта.
Пример 3: два комплексно-сопряжённых корня (D < 0)
Решим уравнение x^2 + 2x + 5 = 0. Здесь a = 1, b = 2, c = 5. Дискриминант равен 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, он отрицателен, поэтому действительных корней не существует. Применяя формулу: x = (-2 плюс-минус квадратный корень из -16) / (2 x 1). Квадратный корень из -16 равен 4i, поскольку (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, так что x = (-2 плюс-минус 4i) / 2 = -1 плюс-минус 2i.
Таким образом, два корня -- это -1 + 2i и -1 - 2i, пара комплексно-сопряжённых чисел -- то есть у них одинаковая действительная часть (-1) и мнимые части с противоположными знаками. Парабола y = x^2 + 2x + 5 целиком лежит выше оси x (её минимальное значение при x = -1 равно 4), и именно поэтому она никогда не пересекает ось и не имеет действительных корней.
Часто задаваемые вопросы
Что такое формула корней квадратного уравнения?
Формула корней квадратного уравнения решает любое уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a не равно нулю, и утверждает, что x = (-b плюс-минус квадратный корень из b^2 - 4ac), делённое на 2a. Она выводится методом выделения полного квадрата из общего квадратного уравнения и работает для любого квадратного уравнения, независимо от того, раскладывается ли оно на множители с целыми коэффициентами.
О чём говорит дискриминант?
Дискриминант, b^2 - 4ac, -- это выражение под квадратным корнем в формуле корней, и его знак показывает тип корней ещё до решения. Положительный дискриминант означает два различных действительных корня, нулевой дискриминант означает один повторяющийся действительный корень x = -b/(2a), а отрицательный дискриминант означает два комплексно-сопряжённых корня и отсутствие действительных решений.
Как решить квадратное уравнение с комплексными корнями?
Когда дискриминант b^2 - 4ac отрицателен, нужно извлечь квадратный корень из его абсолютного значения и добавить мнимую единицу i. Для x^2 + 2x + 5 = 0 дискриминант равен -16, а квадратный корень из -16 равен 4i, что даёт корни x = (-2 плюс-минус 4i) / 2 = -1 плюс-минус 2i -- пару комплексно-сопряжённых чисел.
Откуда берётся формула корней квадратного уравнения?
Она получается методом выделения полного квадрата из общего уравнения ax^2 + bx + c = 0. Деление на a, выделение свободного члена и прибавление (b/2a)^2 к обеим частям превращает левую часть в полный квадрат, (x + b/2a)^2. Извлечение квадратного корня из обеих частей и выражение x даёт x = (-b плюс-минус квадратный корень из b^2 - 4ac) / (2a).
Может ли квадратное уравнение иметь ровно одно решение?
Да, когда дискриминант равен ровно нулю. В этом случае плюс-минус в формуле сводится к единственному значению, x = -b / (2a), которое называется повторяющимся корнем. Например, уравнение x^2 - 4x + 4 = 0 имеет дискриминант 16 - 16 = 0 и единственный повторяющийся корень x = 2, поскольку уравнение раскладывается как (x - 2)^2 = 0.
Источники
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).