Сходимость и расходимость
Сойдётся ли геометрический ряд к конечной сумме при добавлении новых членов, целиком определяется модулем знаменателя, как показано ниже.
| Знаменатель |r| | Поведение членов | Сумма до бесконечности |
|---|---|---|
| |r| < 1 (например, r = 0,5) | Члены стремятся к 0 | Сходится: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Модуль членов остаётся постоянным (а при r = −1 чередуется знак) | Расходится (конечной суммы нет, кроме тривиального случая a₁ = 0) |
| |r| > 1 (например, r = 3) | Модуль членов неограниченно растёт | Расходится (конечной суммы нет) |
- Предпросмотр показывает до первых 8 членов; при n больше 8 многоточие (…) означает, что дальше есть и другие члены, однако n-й член и конечная сумма вычисляются точно для введённого полного n.
- Бесконечная сумма выводится только при |r| < 1; при любых других знаменателях у ряда нет конечной суммы, и калькулятор сообщает об этом вместо того, чтобы показывать вводящее в заблуждение число.
- Знаменатель, в точности равный 0, не даёт стандартной геометрической прогрессии (все члены после первого были бы нулевыми), а отрицательный знаменатель порождает последовательность с чередующимися знаками членов.
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это упорядоченный числовой ряд, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на постоянную величину, называемую знаменателем прогрессии (r). Например, 2, 6, 18, 54, 162 — геометрическая прогрессия с первым членом 2 и знаменателем 3, поскольку каждый член втрое больше предыдущего.
При |r| > 1 модуль членов неограниченно растёт (экспоненциальный рост); при 0 < |r| < 1 члены стремятся к нулю (экспоненциальное убывание); при r = 1 все члены равны первому; при отрицательном r знаки членов чередуются. Геометрические прогрессии описывают сложные проценты, удвоение популяции, радиоактивный распад и любой процесс, в котором величина раз за разом умножается на один и тот же коэффициент.
Геометрический ряд — это сумма членов геометрической прогрессии. В отличие от арифметического ряда, геометрический ряд может иметь конечную сумму даже при бесконечном числе слагаемых — при условии, что модуль знаменателя строго меньше 1. У арифметических прогрессий такого свойства нет.
Как пользоваться калькулятором геометрической прогрессии
- Введите первый член прогрессии (a₁) — начальное значение.
- Введите знаменатель прогрессии (r) — постоянный множитель, на который умножается каждый член для получения следующего. Чтобы увидеть сходящуюся бесконечную сумму, возьмите значение между −1 и 1 (кроме 0).
- Введите количество членов (n), для которого нужно найти n-й член и частичную сумму.
- Считайте n-й член, сумму первых n членов, сумму до бесконечности (выводится только при |r| < 1) и предпросмотр до первых 8 членов.
Формулы геометрической прогрессии
n-й член находят, умножая первый член на знаменатель в степени (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Разбор примера при a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Сумму первых n членов даёт замкнутая формула Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) при r ≠ 1; её выводят, вычитая из ряда его же копию, умноженную на r, — при этом сокращаются все члены, кроме первого и последнего. При r = 1 все члены равны a₁, поэтому сумма равна просто Sₙ = a₁ × n. Разбор примера: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
При |r| < 1 величина rⁿ стремится к 0 с неограниченным ростом n, поэтому формула частичной суммы сходится к конечному пределу: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Например, при a₁ = 8 и r = 0,5 получаем S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16 — бесконечная сумма 8, 4, 2, 1, 0,5, … приближается к 16, но никогда его не превышает. При |r| ≥ 1 бесконечная сумма расходится (конечного значения не имеет), и калькулятор её не выводит.
Типичные ошибки
- Использование n вместо (n − 1) в показателе степени: первый член (n = 1) равен a₁ × r⁰ = a₁, а не a₁ × r¹, поэтому показатель всегда равен (n − 1).
- Применение формулы бесконечной суммы при |r| ≥ 1: в этом случае ряд расходится и конечной суммы не имеет; формула a₁ ÷ (1 − r) верна только при |r| < 1.
- Путаница знаменателя прогрессии с разностью: в геометрической прогрессии на каждом шаге умножают на r, в арифметической — прибавляют d.
- Забывчивость о том, что отрицательный знаменатель даёт знакочередующуюся последовательность (например, 2, −6, 18, −54 при a₁ = 2, r = −3); некоторые принимают это за ошибку, хотя таково ожидаемое поведение.
Часто задаваемые вопросы
Как найти n-й член геометрической прогрессии?
Воспользуйтесь формулой aₙ = a₁ × r^(n−1), где a₁ — первый член, r — знаменатель прогрессии, а n — номер члена. При a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Как найти сумму геометрического ряда?
Для конечного числа членов используйте Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) при r ≠ 1. При a₁ = 2, r = 3, n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Для бесконечного геометрического ряда при |r| < 1 применяйте вместо этого S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
Когда бесконечный геометрический ряд имеет сумму?
Бесконечный геометрический ряд сходится к конечной сумме только тогда, когда модуль знаменателя строго меньше 1 (|r| < 1). В этом случае S∞ = a₁ ÷ (1 − r). При |r| ≥ 1 члены не стремятся к нулю, поэтому сумма неограниченно растёт, и ряд расходится.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В геометрической прогрессии следующий член получается умножением на постоянный знаменатель (r), что даёт экспоненциальный рост или убывание. В арифметической следующий член получается прибавлением постоянной разности (d), что даёт линейный рост или убывание. Одновременно и той и другой последовательность быть, как правило, не может — исключение составляет случай, когда знаменатель равен 1 (постоянная последовательность).
Может ли знаменатель прогрессии быть отрицательным?
Да. Отрицательный знаменатель даёт знакочередующуюся последовательность, в которой знак меняется на каждом шаге. Например, при a₁ = 2 и r = −3 получается 2, −6, 18, −54, 162 — значения чередуются между положительными и отрицательными, по-прежнему подчиняясь формуле aₙ = a₁ × r^(n−1).
Источники
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)