O que diz o teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo -- um triângulo com exatamente um ângulo de 90 graus -- o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, chamados catetos. Escrito como fórmula: a² + b² = c², em que a e b são os dois catetos e c é a hipotenusa. A relação leva o nome do matemático grego Pitágoras, embora haja evidências de que a mesma relação numérica já era conhecida e usada, independentemente de qualquer prova formal, por matemáticos babilônios e de outras civilizações antigas, muito antes de Pitágoras.
O teorema se aplica apenas a triângulos retângulos em um plano (euclidiano). Ele não vale para triângulos sem ângulo reto -- esses exigem a lei dos cossenos, mais geral -- e não vale exatamente para triângulos desenhados sobre uma superfície curva, como uma esfera, em que a geometria em si é diferente.
Por que funciona: uma prova clássica por rearranjo
Uma das demonstrações mais conhecidas do teorema, muitas vezes chamada de prova por rearranjo, usa quatro cópias idênticas do mesmo triângulo retângulo (com catetos a e b e hipotenusa c) dispostas dentro de um único quadrado grande com lados de comprimento (a + b). Arranjados de um jeito, os quatro triângulos envolvem um quadrado interno menor e inclinado, com lados de comprimento c, de modo que a área do quadrado grande se divide nos quatro triângulos mais esse quadrado interno: (a + b)² = 4 x (1/2 x a x b) + c², que simplifica para (a + b)² = 2ab + c².
Expandindo o lado esquerdo algebricamente, (a + b)² = a² + 2ab + b². Igualando as duas expressões para a mesma área total: a² + 2ab + b² = 2ab + c². Subtraindo 2ab dos dois lados, resta a² + b² = c² -- o teorema de Pitágoras, derivado apenas comparando duas formas de calcular a área do mesmo quadrado. Essa prova específica é uma entre centenas já publicadas ao longo dos séculos; o compêndio de Elisha Loomis, The Pythagorean Proposition, catalogou 367 provas distintas do teorema.
Ternos pitagóricos: 3-4-5 e além
Um terno pitagórico é um conjunto de três números inteiros positivos a, b e c que satisfazem exatamente a² + b² = c², o que significa que existe um triângulo retângulo com esses três lados inteiros, sem necessidade de arredondamento. O menor e mais conhecido terno é 3-4-5, já que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Qualquer múltiplo inteiro de um terno conhecido também é um terno válido -- por exemplo, dobrar 3-4-5 dá 6-8-10, e triplicá-lo dá 9-12-15, ambos satisfazendo igualmente a² + b² = c². Ternos que não são múltiplos de um terno menor, como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17 abaixo, são chamados de ternos pitagóricos primitivos.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Usos reais: diagonais e distâncias
Como a diagonal de um retângulo, junto com dois lados adjacentes, forma um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras fornece diretamente o comprimento da diagonal: diagonal = a raiz quadrada de (comprimento² + largura²). Um retângulo de 6 por 8 unidades tem diagonal igual à raiz quadrada de (6² + 8²) = a raiz quadrada de (36 + 64) = a raiz quadrada de 100 = exatamente 10 unidades -- o terno 6-8-10, um múltiplo de 3-4-5.
O mesmo princípio, estendido a três dimensões, fornece a diagonal espacial de uma caixa retangular, obtida aplicando o teorema duas vezes: primeiro para achar a diagonal do retângulo da base, depois combinando essa diagonal com a altura da caixa. Uma caixa de 12 por 9 por 8 unidades tem diagonal espacial igual à raiz quadrada de (12² + 9² + 8²) = a raiz quadrada de (144 + 81 + 64) = a raiz quadrada de 289 = exatamente 17 unidades. A fórmula de distância entre coordenadas, usada para achar a distância em linha reta entre dois pontos, d = a raiz quadrada de ((x2-x1)² + (y2-y1)²), é o mesmo teorema aplicado diretamente às diferenças horizontal e vertical entre dois pontos: para os pontos (1,2) e (4,6), a distância é a raiz quadrada de (3² + 4²) = a raiz quadrada de 25 = 5.
A recíproca: usando 3-4-5 para conferir um ângulo reto
A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira e é usada com frequência na prática: se três comprimentos medidos satisfazem a² + b² = c², então o triângulo que eles formam necessariamente contém um ângulo reto oposto ao lado mais longo, mesmo que esse ângulo nunca tenha sido medido diretamente. Essa recíproca é a base do tradicional método 3-4-5, usado em construção e marcenaria para conferir ou marcar um canto de esquadro (90 graus): medir 3 unidades ao longo de uma borda, 4 unidades ao longo da borda perpendicular e confirmar que a diagonal entre esses dois pontos marcados é exatamente 5 unidades confirma que o canto é um verdadeiro ângulo reto.
Isso funciona porque a recíproca garante um resultado único: três comprimentos positivos que satisfazem a² + b² = c² só podem formar um triângulo retângulo, nunca um acutângulo ou obtusângulo, com o ângulo reto localizado oposto ao lado mais longo, c. Qualquer múltiplo do terno 3-4-5 -- como 6-8-10 ou 9-12-15 -- funciona da mesma forma para conferir cantos maiores.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
a² + b² = c², em que a e b são os dois catetos de um triângulo retângulo e c é a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo reto. Ele se aplica apenas a triângulos retângulos em um plano.
Como se prova o teorema de Pitágoras?
Um método clássico, a prova por rearranjo, dispõe quatro triângulos retângulos idênticos dentro de um quadrado com lados (a + b), de modo que a área total pode ser calculada de duas formas diferentes -- uma como (a + b)², e outra como os quatro triângulos mais um quadrado interno inclinado de área c². Igualando essas duas expressões de área e simplificando algebricamente, obtém-se a² + b² = c². Centenas de provas alternativas também já foram publicadas, incluindo o compêndio de Elisha Loomis, que documenta 367 delas.
O que é um terno pitagórico, e qual é o menor deles?
Um terno pitagórico é um conjunto de três números inteiros positivos a, b e c que satisfazem exatamente a² + b² = c². O menor e mais comum é 3-4-5, já que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Outros ternos comuns incluem 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 e 9-40-41.
Como o teorema de Pitágoras é usado para achar a diagonal de um retângulo?
A diagonal de um retângulo forma a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o comprimento e a largura do retângulo, então diagonal = a raiz quadrada de (comprimento² + largura²). Um retângulo de 6 por 8 tem diagonal igual à raiz quadrada de (36 + 64) = a raiz quadrada de 100 = exatamente 10 unidades.
O teorema de Pitágoras funciona em superfícies curvas?
Não. O teorema vale exatamente apenas para triângulos retângulos desenhados em um plano (euclidiano). Em uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, as relações entre ângulos e lados são regidas por uma geometria diferente, não euclidiana, e a² + b² = c² deixa de valer exatamente para um triângulo com ângulo de 90 graus.
Como construtores usam a regra 3-4-5 para conferir um ângulo reto?
Pela recíproca do teorema de Pitágoras, se três comprimentos medidos satisfazem a² + b² = c², o ângulo oposto ao maior comprimento deve ser exatamente 90 graus. Marcar 3 unidades ao longo de uma borda e 4 unidades ao longo de uma borda perpendicular, e depois confirmar que a distância entre esses dois pontos é exatamente 5 unidades, comprova um canto verdadeiramente reto -- um método comum em construção e marcenaria.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).