GCFとLCMを合わせて理解する
GCFとLCMは、関連する一対の問いの両端に位置します。GCFは共有される最大の因数を求め、LCMは共有される最小の倍数を求めます。
| 数値 | GCF | LCM | 典型的な用途 |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | 分数12/18を2/3に約分する、共通分母を求める |
| 4, 6 | 2 | 12 | 長さ4と6の2つの繰り返しサイクルが次に一致するタイミングを求める |
| 7, 13 | 1（互いに素） | 91 | 1以外に共通の因数を持たない数は、LCMがその積に等しくなる |
- 2つの数が1以外に共通の因数を持たないとき、それらは互いに素（または互いに素な数）と呼ばれます。この場合、GCFは1で、LCMは2数の積に等しくなります。
- GCFは、分子と分母の両方をそのGCFで割ることで、分数を最も簡単な形に約分するのに使われます。LCMは、分母の異なる分数を足したり引いたりするときの最小公分母を求めるのに使われます。
- この計算機は、入力されたすべての数値を正の整数として扱います。小数や負の入力は、計算前にその絶対値を丸めた整数値に変換されます。
最大公約数と最小公倍数とは
整数の集合の最大公約数（GCF）とは、それぞれの数を余りなく割り切る最大の整数のことです。例えば12、18、24の最大公約数は6です。6は3つの数すべてを余りなく割り切り（12÷6=2、18÷6=3、24÷6=4）、これより大きい数ではそれができないためです。GCFは最大公約数（GCD）とも呼ばれます。
整数の集合の最小公倍数（LCM）とは、それぞれの数で余りなく割り切れる最小の正の整数のことです。12、18、24の最小公倍数は72です。72は3つの数すべての倍数になる最小の数だからです（72÷12=6、72÷18=4、72÷24=3）。
GCFとLCMは一緒に使われることがよくあります。GCFは分数を最も簡単な形に約分したり、異なる数量から作れる最大の同じ大きさのグループを求めたりするのに使われ、LCMは分数の加算・比較のための共通分母を求めたり、周期の異なる繰り返し事象（例えば長さの違う2つのサイクル）が次に一致するタイミングを求めたりするのに使われます。
GCF・LCM計算機の使い方
- 2個以上の正の整数をセミコロン区切りで入力します（例：12; 18; 24）。
- 計算機は、入力したすべての数に対してユークリッドの互除法を2つずつ適用し、GCFを求めます。
- LCMは、恒等式LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)を使ってGCFから計算され、リスト全体に2つずつ拡張して適用されます。
- GCF、LCM、そしてGCFが2以上の場合はその素因数分解を確認します。
ユークリッドの互除法とGCF・LCMの関係
GCFは、数学史上最も古いアルゴリズムの1つであるユークリッドの互除法（紀元前300年頃、ユークリッドの『原論』第7巻に記載）を使って計算します。2つの数のうち大きい方を、大きい方を小さい方で割った余りに置き換えることを、余りが0になるまで繰り返します。最後の0でない値がGCFです。計算例：GCF(12, 18)：18 = 1×12 + 6、次に12 = 2×6 + 0、よってGCF(12, 18) = 6。続いてGCF(6, 24)：24 = 4×6 + 0、よってGCF(6, 24) = 6となり、GCF(12, 18, 24) = 6が得られます。
3つ以上の数の場合、2数用のアルゴリズムを繰り返し適用してGCFを求めます：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)。
2つの数のLCMは、恒等式LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)によってGCFと直接結びついています。これは、2つの数の積が常にそのGCFとLCMの積に等しいために成り立ちます。計算例：LCM(12, 18) = (12 × 18) ÷ GCF(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36。3つ目の数まで拡張すると：LCM(36, 24) = (36 × 24) ÷ GCF(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72となり、LCM(12, 18, 24) = 72が得られます。
よくある間違い
- GCFとLCMを混同すること——GCFは常に入力した数のうち最も小さいもの以下になり、LCMは常に入力した数のうち最も大きいもの以上になります。
- LCM(a, b) = a × bが常に成り立つと思い込むこと——この近道が成り立つのはaとbが互いに素（GCF = 1）のときだけで、それ以外ではLCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)です。
- 1つの数だけでGCFやLCMを求めようとすること——どちらの概念も、少なくとも2つの数を比較する必要があります。1つの数自身との「GCF」や「LCM」は自明にその数自体になるだけです。
- GCFとLCMは分数や小数ではなく正の整数について定義されていることを忘れること——整数でない入力は、これらの公式を適用する前に解釈または変換する必要があります。
よくある質問
数の最大公約数（GCF）はどうやって求めますか？
最も効率的な方法はユークリッドの互除法です。大きい方の数を、それを小さい方の数で割った余りに繰り返し置き換え、余りが0になるまで続けます。最後の0でない余りがGCFです。12と18の場合：18 mod 12 = 6、次に12 mod 6 = 0となるので、GCF(12, 18) = 6です。
数の最小公倍数（LCM）はどうやって求めますか？
まずGCFを求め、次にLCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)を適用します。12と18の場合：GCF = 6なので、LCM = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36です。3つ以上の数の場合は、この公式を2つずつ適用し、それまでのLCMを新しい数と組み合わせていきます。
GCFとLCMの関係は何ですか？
任意の2つの正の整数aとbについて、そのGCFとLCMの積は常に、それらの数自体の積に等しくなります：GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b。この恒等式があるおかげで、倍数を1つずつ書き出さなくても、GCFがわかればLCMを素早く計算できます。
2つの数が互いに素であるとはどういうことですか？
2つの数の正の公約数が1だけであるとき、それらは互いに素（相対的に素）と呼ばれます——つまりGCFが1です。互いに素な数同士は、それ自体が素数である必要はありません。例えば8と9は互いに素（GCF = 1）ですが、どちらも素数ではありません。2つの数が互いに素であるとき、そのLCMは2数の積に等しくなります。
GCFを使って分数を約分するにはどうすればよいですか？
分数の分子と分母の両方を、そのGCFで割ります。12/18の場合、12と18のGCFは6なので、12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3となり、GCF(2, 3) = 1なのでこれ以上約分できません。
参考文献
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.