Memahami hasil logaritma
Ketiga basis standar menjawab pertanyaan berbeda tentang angka yang sama. Tabel di bawah menunjukkannya untuk x = 100.
| Logaritma | Basis | Nilai untuk x = 100 | Penggunaan umum |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2,71828... | 4,60517 | Kalkulus, pertumbuhan dan peluruhan kontinu |
| log10 | 10 | 2 | Notasi ilmiah, desibel, pH, orde besaran |
| log2 | 2 | 6,643856 | Ilmu komputer, teori informasi (bit) |
- Logaritma tidak terdefinisi untuk nol dan angka negatif, dan basisnya harus positif serta tidak sama dengan 1.
- log_b(1) = 0 di semua basis, karena b^0 = 1; dan log_b(b) = 1, karena b^1 = b.
- Logaritma bernilai negatif ketika input berada di antara 0 dan 1 — misalnya, log_10(0,01) = -2.
- Notasi bervariasi menurut bidang: dalam matematika 'log' tanpa basis sering berarti ln, sedangkan dalam teknik dan pada sebagian besar kalkulator berarti log10. ISO 80000-2 merekomendasikan notasi eksplisit ln, lg dan lb.
Apa itu logaritma?
Logaritma dari angka x dalam basis b, ditulis log_b(x), adalah pangkat yang harus dikenakan pada b untuk menghasilkan x: jika b^y = x, maka log_b(x) = y. Misalnya, log_10(100) = 2 karena 10^2 = 100, dan log_2(8) = 3 karena 2^3 = 8. Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan.
Tiga basis mendominasi dalam praktik. Logaritma natural (ln) menggunakan basis e (kurang lebih 2,71828) dan menjadi standar dalam kalkulus, model pertumbuhan dan peluruhan, serta ilmu pengetahuan. Logaritma umum (log10) mendasari notasi ilmiah dan skala pengukuran seperti desibel dan pH. Logaritma biner (log2) digunakan di seluruh ilmu komputer, mulai dari analisis algoritma hingga teori informasi, tempat ia mengukur bit.
Logaritma hanya didefinisikan untuk angka positif, dan basisnya harus positif serta tidak sama dengan 1. Tidak ada bilangan real y di mana b^y bernilai nol atau negatif, itulah sebabnya log(0) dan log dari angka negatif tidak terdefinisi, dan basis 1 gagal karena 1 dipangkatkan berapa pun selalu bernilai 1.
Cara menggunakan kalkulator logaritma ini
- Masukkan angka x yang ingin dicari logaritmanya. Angka ini harus positif.
- Masukkan basis b. Basis harus positif dan tidak sama dengan 1; pilihan umum adalah 10, 2 dan e (kurang lebih 2,71828).
- Baca log basis b dari x, dihitung dengan rumus perubahan basis.
- Bandingkan dengan logaritma natural, umum dan biner dari angka yang sama, yang ditampilkan di sampingnya.
Rumus perubahan basis
Logaritma apa pun dapat dihitung dari logaritma dalam basis lain: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Identitas perubahan basis ini adalah cara kalkulator mengevaluasi logaritma dalam basis sembarang hanya dengan menggunakan logaritma natural.
Contoh perhitungan: log_2(8). Hitung ln(8) = 2,079442 dan ln(2) = 0,693147; hasil baginya adalah 2,079442 / 0,693147 = 3. Periksa: 2^3 = 8. Contoh lain: log_10(100) = 2, karena 10^2 = 100; kalkulator juga melaporkan ln(100) = 4,60517 dan log_2(100) = 6,643856 untuk input yang sama.
Identitas aljabar utama mengikuti definisi tersebut: log dari suatu perkalian adalah jumlah dari log-nya, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); log dari suatu pembagian adalah selisihnya; dan log dari suatu pangkat mengeluarkan eksponen ke depan, log_b(x^k) = k log_b(x). Aturan-aturan ini mengubah perkalian menjadi penjumlahan, yang menjadi motivasi awal dibuatnya tabel logaritma.
Kesalahan umum
- Mengambil log dari nol atau angka negatif — logaritma hanya terdefinisi untuk input positif.
- Mengasumsikan log(x + y) sama dengan log(x) + log(y); aturan penjumlahan berlaku untuk perkalian, bukan penjumlahan: log(xy) = log(x) + log(y).
- Bingung basis mana yang dimaksud 'log': banyak kalkulator dan bahasa pemrograman berbeda (dalam JavaScript, Math.log adalah log natural).
- Menulis log_b(x^k) sebagai (log_b x)^k — aturan pangkat memindahkan eksponen ke depan sebagai pengali, bukan ke atas log.
- Menggunakan basis 1, yang tidak memiliki logaritma, karena 1 dipangkatkan berapa pun tetap 1.
Pertanyaan yang sering diajukan
Berapa logaritma dari 100 dalam basis 10?
log_10(100) = 2, karena 10 dipangkatkan 2 sama dengan 100. Logaritma umum menghitung faktor sepuluh, sehingga log_10(1000) = 3 dan log_10(0,01) = -2.
Bagaimana cara menghitung log dalam basis yang tidak ada di kalkulator saya?
Gunakan rumus perubahan basis: log_b(x) = ln(x) / ln(b), atau setara dengan log_10(x) / log_10(b). Misalnya, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, dan memang 5^3 = 125.
Apa perbedaan antara ln dan log?
ln selalu menyatakan logaritma natural, basis e (kurang lebih 2,71828). 'log' bersifat ambigu: dalam matematika murni sering berarti log natural, sedangkan dalam teknik, kimia, dan pada sebagian besar kalkulator genggam berarti basis 10. Standar ISO 80000-2 merekomendasikan penulisan ln untuk basis e, lg untuk basis 10, dan lb untuk basis 2 guna menghindari ambiguitas.
Mengapa saya tidak bisa mengambil log dari angka negatif?
Karena tidak ada pangkat real dari basis positif yang menghasilkan angka negatif: b^y selalu positif untuk setiap y real ketika b > 0. Akibatnya, log_b(x) tidak memiliki nilai real untuk x <= 0. (Dalam analisis kompleks, logaritma dari angka negatif dapat didefinisikan, tetapi nilainya bercabang banyak dan berada di luar cakupan kalkulator bernilai real.)
Untuk apa log2 digunakan?
Logaritma biner log_2 mengukur berapa kali penggandaan diperlukan untuk mencapai suatu angka, sehingga menjadi fundamental dalam ilmu komputer: pencarian biner atas n item terurut membutuhkan sekitar log_2(n) langkah, dan log_2 memberikan jumlah bit yang diperlukan untuk merepresentasikan n nilai berbeda. Misalnya, log_2(1024) = 10, sehingga 10 bit dapat mengalamatkan 1024 nilai.
Apa arti skala logaritmik?
Skala logaritmik menempatkan nilai berdasarkan rasio yang sama, bukan selisih yang sama: setiap langkah dikalikan dengan faktor konstan. Desibel, skala magnitudo Richter, dan pH bersifat logaritmik — kenaikan 1 unit pH berarti penurunan sepuluh kali lipat konsentrasi ion hidrogen. Skala log membuat besaran yang mencakup banyak orde besaran mudah dibaca pada satu sumbu.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).