Memahami konvergensi dan divergensi
Apakah suatu deret geometri konvergen ke jumlah yang terhingga seiring bertambahnya suku bergantung sepenuhnya pada besaran rasionya, seperti dirangkum di bawah ini.
| Rasio |r| | Perilaku suku-suku | Jumlah tak hingga |
|---|---|---|
| |r| < 1 (mis. r = 0,5) | Suku-suku mengecil menuju 0 | Konvergen: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Suku-suku tetap konstan dalam besaran (atau berselang-seling tanda jika r = −1) | Divergen (tidak ada jumlah terhingga, kecuali kasus trivial a₁ = 0) |
| |r| > 1 (mis. r = 3) | Suku-suku tumbuh tanpa batas dalam besaran | Divergen (tidak ada jumlah terhingga) |
- Pratinjau barisan menampilkan hingga 8 suku pertama; untuk n lebih dari 8, elipsis (…) menunjukkan bahwa masih ada suku lebih lanjut, meskipun suku ke-n dan jumlah terhingganya tetap dihitung secara eksak untuk seluruh n yang dimasukkan.
- Hasil jumlah tak hingga hanya ditampilkan ketika |r| < 1; untuk rasio lainnya, deret tersebut tidak memiliki jumlah terhingga dan kalkulator ini menunjukkan hal tersebut alih-alih menampilkan angka yang menyesatkan.
- Rasio yang bernilai tepat 0 bukan barisan geometri standar (setiap suku setelah suku pertama akan menjadi 0), dan rasio negatif menghasilkan barisan yang tandanya berselang-seling pada setiap suku.
Apa itu barisan geometri?
Barisan geometri (atau deret ukur) adalah daftar angka berurutan yang setiap sukunya (setelah suku pertama) diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta, disebut rasio (r). Misalnya, 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3, karena setiap suku adalah 3 kali suku sebelumnya.
Ketika |r| > 1, suku-sukunya tumbuh tanpa batas dalam besaran (pertumbuhan eksponensial); ketika 0 < |r| < 1, suku-sukunya mengecil menuju nol (peluruhan eksponensial); ketika r = 1, setiap suku sama dengan suku pertama; dan ketika r negatif, tanda suku-sukunya berselang-seling. Barisan geometri memodelkan bunga majemuk, penggandaan populasi, peluruhan radioaktif, dan proses apa pun di mana suatu besaran diskalakan berulang kali dengan faktor yang sama.
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan geometri. Berbeda dengan deret aritmetika, deret geometri dapat memiliki jumlah yang terhingga bahkan ketika diperluas hingga tak hingga banyak suku, asalkan nilai absolut rasionya secara ketat kurang dari 1 — sebuah sifat yang tidak memiliki padanan pada barisan aritmetika.
Cara menggunakan kalkulator barisan geometri ini
- Masukkan suku pertama barisan (a₁) — nilai awal.
- Masukkan rasio (r) — faktor tetap yang mengalikan setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya. Gunakan nilai antara −1 dan 1 (tidak termasuk 0) untuk melihat jumlah tak hingga yang konvergen.
- Masukkan jumlah suku (n) yang ingin Anda cari suku ke-n dan jumlah parsialnya.
- Baca suku ke-n, jumlah n suku pertama, jumlah tak hingga (ditampilkan hanya ketika |r| < 1), dan pratinjau hingga 8 suku pertama.
Formula barisan geometri
Suku ke-n dicari dengan mengalikan suku pertama dengan rasio yang dipangkatkan (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Contoh perhitungan dengan a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Jumlah n suku pertama menggunakan rumus tertutup Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) untuk r ≠ 1, yang diturunkan dengan mengurangkan salinan berskala dari deret tersebut terhadap dirinya sendiri sehingga semua suku saling meniadakan kecuali suku pertama dan terakhir. Ketika r = 1, setiap suku sama dengan a₁, sehingga jumlahnya cukup Sₙ = a₁ × n. Contoh perhitungan: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Ketika |r| < 1, suku rⁿ mengecil menuju 0 seiring n bertambah tanpa batas, sehingga rumus jumlah parsial konvergen ke batas terhingga: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Misalnya, dengan a₁ = 8 dan r = 0,5, S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16 — jumlah tak hingga dari 8, 4, 2, 1, 0,5, … mendekati tetapi tidak pernah melebihi 16. Ketika |r| ≥ 1, jumlah tak hingga divergen (tidak memiliki nilai terhingga) dan kalkulator ini tidak menampilkan hasil untuk kasus tersebut.
Kesalahan umum
- Menggunakan n, bukan (n − 1), sebagai eksponen — suku pertama (n = 1) adalah a₁ × r⁰ = a₁, bukan a₁ × r¹, sehingga eksponennya selalu (n − 1).
- Menerapkan formula jumlah tak hingga ketika |r| ≥ 1 — deret tersebut divergen dalam kasus itu dan tidak memiliki jumlah terhingga; formula a₁ ÷ (1 − r) hanya berlaku ketika |r| < 1.
- Mengacaukan rasio dengan beda — barisan geometri mengalikan dengan r pada setiap langkah; barisan aritmetika menambahkan d pada setiap langkah.
- Lupa bahwa rasio negatif menghasilkan barisan yang berselang-seling (misalnya 2, −6, 18, −54 untuk a₁ = 2, r = −3), yang oleh sebagian pelajar dianggap sebagai kesalahan padahal merupakan perilaku yang diharapkan.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara mencari suku ke-n dari suatu barisan geometri?
Gunakan formula aₙ = a₁ × r^(n−1), dengan a₁ adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah nomor suku. Untuk a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Bagaimana cara mencari jumlah suatu deret geometri?
Untuk jumlah suku yang terhingga, gunakan Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) ketika r ≠ 1. Untuk a₁ = 2, r = 3, n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Untuk deret geometri tak hingga dengan |r| < 1, gunakan S∞ = a₁ ÷ (1 − r) sebagai gantinya.
Kapan suatu deret geometri tak hingga memiliki jumlah?
Deret geometri tak hingga konvergen ke jumlah terhingga hanya ketika nilai absolut rasionya secara ketat kurang dari 1 (|r| < 1). Dalam kasus itu, S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Jika |r| ≥ 1, suku-sukunya tidak mengecil menuju nol, sehingga jumlahnya tumbuh tanpa batas dan deret tersebut divergen.
Apa perbedaan antara barisan geometri dan barisan aritmetika?
Barisan geometri mengalikan dengan rasio konstan (r) untuk mendapatkan setiap suku berikutnya, menghasilkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial. Barisan aritmetika menambahkan beda konstan (d) untuk mendapatkan setiap suku berikutnya, menghasilkan pertumbuhan atau penurunan linear. Suatu barisan umumnya tidak dapat menjadi keduanya sekaligus kecuali rasionya 1 (barisan konstan).
Bisakah rasio bernilai negatif?
Ya. Rasio negatif menghasilkan barisan yang berselang-seling, di mana tandanya berbalik pada setiap suku. Misalnya, a₁ = 2 dan r = −3 menghasilkan 2, −6, 18, −54, 162, berselang-seling antara nilai positif dan negatif sambil tetap mengikuti aₙ = a₁ × r^(n−1).
Referensi
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)