Memahami pratinjau barisan
Tanda beda menentukan apakah barisan naik, turun, atau tetap konstan, seperti ditunjukkan di bawah ini untuk suku pertama bernilai 3.
| Beda (d) | Perilaku | 5 suku pertama (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (mis. d = 4) | Barisan naik | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Barisan konstan — setiap suku sama dengan a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (mis. d = −4) | Barisan turun | 3, −1, −5, −9, −13 |
- Pratinjau barisan menampilkan hingga 8 suku pertama; untuk n lebih dari 8, elipsis (…) menunjukkan bahwa barisan berlanjut melebihi yang ditampilkan, meskipun suku ke-n dan jumlahnya tetap dihitung secara eksak untuk seluruh n yang Anda masukkan.
- Berbeda dengan barisan geometri, barisan aritmetika tidak memiliki batas atas seberapa besar atau kecil suku-sukunya bisa menjadi seiring bertambahnya n (kecuali d = 0), dan tidak ada 'jumlah tak hingga' yang terhingga — jumlah parsial Sₙ terus bertambah tanpa batas seiring bertambahnya n (untuk d ≠ 0).
Apa itu barisan aritmetika?
Barisan aritmetika (atau deret hitung) adalah daftar angka berurutan yang selisih antara setiap suku dengan suku sebelumnya selalu berupa konstanta yang sama, disebut beda (d). Misalnya, 3, 7, 11, 15, 19 adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 3 dan beda 4, karena setiap suku 4 lebih besar dari suku sebelumnya.
Beda dapat bernilai positif (barisan naik), negatif (barisan turun), atau nol (barisan konstan yang setiap sukunya sama dengan suku pertama). Barisan aritmetika memodelkan proses apa pun yang berubah dengan jumlah tetap yang sama pada setiap langkah, seperti rencana tabungan dengan setoran tetap yang sama, baris tempat duduk dengan jumlah kursi tambahan yang konstan, atau penghitung mundur waktu yang berkurang dengan interval tetap.
Ada dua besaran terkait yang umum ditanyakan tentang suatu barisan aritmetika: nilai suatu suku tertentu (suku ke-n), dan jumlah dari serangkaian suku berurutan (jumlah parsial, terkadang disebut deret aritmetika). Kalkulator ini menghitung keduanya dari tiga input yang sama.
Cara menggunakan kalkulator barisan aritmetika ini
- Masukkan suku pertama barisan (a₁) — nilai awal.
- Masukkan beda (d) — jumlah tetap yang ditambahkan ke setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya. Gunakan angka negatif untuk barisan turun.
- Masukkan jumlah suku (n) yang ingin Anda cari suku ke-n dan jumlahnya.
- Baca suku ke-n, jumlah n suku pertama, dan pratinjau yang menampilkan hingga 8 suku pertama dari barisan tersebut.
Formula barisan aritmetika
Suku ke-n dari suatu barisan aritmetika dicari dengan memulai dari suku pertama dan menambahkan beda sebanyak (n − 1) kali, karena suku pertama itu sendiri tidak memerlukan penambahan apa pun: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Contoh perhitungan dengan a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Jumlah n suku pertama memanfaatkan fakta bahwa memasangkan suku pertama dan terakhir, suku kedua dan kedua-dari-terakhir, dan seterusnya, selalu menghasilkan jumlah pasangan yang sama (a₁ + aₙ). Ini menghasilkan rumus tertutup Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), yang setara dengan Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Contoh perhitungan: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Formula jumlah ini dikaitkan dalam cerita rakyat matematika dengan Carl Friedrich Gauss muda, yang dikisahkan menjumlahkan bilangan bulat 1 hingga 100 dengan memasangkan 1+100, 2+99, dan seterusnya, menghasilkan 50 pasangan yang masing-masing berjumlah 101, dengan total 5050 — logika pemasangan yang sama mendasari formula umum yang digunakan di sini.
Kesalahan umum
- Menggunakan n, bukan (n − 1), dalam formula suku ke-n — suku pertama (n = 1) memerlukan nol penambahan d, bukan satu, karena aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Mengacaukan beda dengan rasio — barisan aritmetika menambahkan jumlah tetap pada setiap langkah; barisan geometri justru mengalikan dengan faktor tetap.
- Mengasumsikan formula jumlah mengharuskan mendaftar setiap suku — rumus tertutup Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) menghitung jumlahnya langsung tanpa perlu menjumlahkan setiap suku satu per satu.
- Memasukkan jumlah suku yang bukan bilangan bulat — n harus berupa bilangan bulat positif yang mewakili posisi suku (ke-1, ke-2, ke-3, …), bukan hitungan pecahan.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara mencari suku ke-n dari suatu barisan aritmetika?
Gunakan formula aₙ = a₁ + (n − 1)d, dengan a₁ adalah suku pertama, d adalah beda, dan n adalah nomor suku yang Anda inginkan. Untuk a₁ = 3, d = 4, dan n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Bagaimana cara mencari jumlah suatu barisan aritmetika?
Gunakan formula Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), yang menjumlahkan n suku pertama tanpa perlu menjumlahkan setiap suku satu per satu. Untuk a₁ = 3, d = 4, n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri?
Barisan aritmetika memiliki beda yang konstan antara suku-suku yang berurutan (setiap suku = suku sebelumnya + d). Barisan geometri memiliki rasio yang konstan antara suku-suku yang berurutan (setiap suku = suku sebelumnya × r). Barisan aritmetika tumbuh secara linear; barisan geometri tumbuh (atau menyusut) secara eksponensial ketika besaran rasionya bukan 1.
Bisakah beda bernilai negatif atau nol?
Ya. Beda yang negatif menghasilkan barisan turun (misalnya 10, 7, 4, 1, −2 dengan d = −3). Beda yang bernilai nol menghasilkan barisan konstan yang setiap sukunya sama dengan suku pertama. Keduanya adalah barisan aritmetika yang valid.
Bagaimana cara mencari beda dari dua suku?
Kurangi suatu suku dengan suku yang tepat mengikutinya: d = aₙ₊₁ − aₙ. Jika Anda hanya mengetahui dua suku yang tidak berurutan, aₘ dan aₙ, gunakan d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Referensi
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.