Cara Kerja Rumus Kuadrat

Q: Apa itu rumus kuadrat?

Rumus kuadrat menyelesaikan setiap persamaan berbentuk ax^2 + bx + c = 0, dengan a tidak nol, dan menyatakan bahwa x = (-b plus-atau-minus akar dari b^2 - 4ac), seluruhnya dibagi 2a. Rumus ini diturunkan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bentuk umum persamaan kuadrat dan berlaku untuk semua persamaan kuadrat, baik yang dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat maupun tidak.

Q: Apa yang diberitahukan diskriminan?

Diskriminan, b^2 - 4ac, adalah ekspresi di bawah tanda akar dalam rumus kuadrat, dan tandanya mengungkap jenis akar persamaan sebelum kita menyelesaikannya. Diskriminan positif berarti dua akar real yang berbeda, diskriminan nol berarti satu akar real kembar pada x = -b/(2a), sedangkan diskriminan negatif berarti dua akar kompleks sekawan dan tidak ada penyelesaian real.

Q: Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat berakar kompleks?

Ketika diskriminan b^2 - 4ac bernilai negatif, akarkan nilai mutlaknya lalu bubuhkan satuan imajiner i. Untuk x^2 + 2x + 5 = 0, diskriminannya -16, dan akar dari -16 adalah 4i, sehingga akarnya x = (-2 plus-atau-minus 4i) / 2 = -1 plus-atau-minus 2i — sepasang bilangan kompleks sekawan.

Q: Dari mana rumus kuadrat berasal?

Rumus ini berasal dari melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum ax^2 + bx + c = 0. Membagi dengan a, memisahkan konstantanya, lalu menambahkan (b/2a)^2 pada kedua ruas mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, (x + b/2a)^2. Mengakarkan kedua ruas dan mengisolasi x menghasilkan x = (-b plus-atau-minus akar dari b^2 - 4ac) / (2a).

Q: Bisakah persamaan kuadrat punya tepat satu penyelesaian?

Bisa, yaitu ketika diskriminannya tepat nol. Dalam kasus itu tanda plus-atau-minus dalam rumus melebur menjadi satu nilai, x = -b / (2a), yang disebut akar kembar. Contohnya, x^2 - 4x + 4 = 0 memiliki diskriminan 16 - 16 = 0 dan akar kembar tunggal x = 2, karena persamaannya terfaktor sebagai (x - 2)^2 = 0.

Dari mana rumus kuadrat berasal

Rumus kuadrat diturunkan dari persamaan umum ax^2 + bx + c = 0 (dengan a tidak sama dengan nol) memakai teknik melengkapkan kuadrat sempurna. Membagi setiap suku dengan a memberi x^2 + (b/a)x + c/a = 0, lalu memindahkan konstanta ke ruas lain memberi x^2 + (b/a)x = -c/a. Menambahkan (b/2a)^2 pada kedua ruas mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.

Menyederhanakan ruas kanan dengan penyebut yang sama menghasilkan (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Mengakarkan kedua ruas (sambil mengizinkan akar positif maupun negatif) memberi x + b/2a = plus-atau-minus akar dari (b^2 - 4ac) / (2a), dan setelah x diisolasi muncullah rumus yang sudah kita kenal: x = (-b plus-atau-minus akar dari b^2 - 4ac) / (2a). Setiap langkahnya adalah aljabar yang dapat dibalik, sehingga rumus ini berlaku untuk setiap persamaan kuadrat dengan koefisien utama tak nol — bukan hanya untuk persamaan yang kebetulan mudah difaktorkan.

Diskriminan: petunjuk sebelum Anda menyelesaikan

Ekspresi di bawah tanda akar, b^2 - 4ac, disebut diskriminan, dan tandanya saja sudah menentukan jenis akar persamaan tanpa perlu menghitung akar-akarnya. Diskriminan positif berarti akar kuadratnya berupa bilangan real positif, sehingga tanda plus-atau-minus menghasilkan dua nilai x real yang berbeda. Diskriminan tepat nol berarti suku akar itu lenyap sepenuhnya, sehingga kasus plus dan kasus minus melebur menjadi satu nilai tunggal, x = -b / (2a).

Diskriminan negatif berarti ekspresi di bawah tanda akar bernilai negatif, dan itu tidak punya akar real — hanya akar imajiner, karena akar dari bilangan negatif didefinisikan sebagai bilangan real dikali i, dengan i sebagai satuan imajiner yang memenuhi i^2 = -1. Dalam kasus ini rumus tetap memberi dua jawaban, hanya saja keduanya berupa pasangan kompleks sekawan berbentuk p + qi dan p - qi, bukan bilangan real.

Diskriminan (b^2 - 4ac)	Jumlah dan jenis akar	Perilaku parabolanya
Positif (> 0)	Dua akar real yang berbeda	Memotong sumbu x di dua titik
Nol (= 0)	Satu akar real kembar, x = -b / (2a)	Menyinggung sumbu x tepat di satu titik (puncaknya)
Negatif (< 0)	Dua akar kompleks sekawan, p ± qi	Tidak pernah menyentuh atau memotong sumbu x

Contoh 1: dua akar real yang berbeda (D > 0)

Selesaikan x^2 - 3x + 2 = 0. Di sini a = 1, b = -3, c = 2. Diskriminannya adalah (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, bernilai positif, sehingga dapat diharapkan dua akar real yang berbeda. Menerapkan rumusnya: x = (3 plus-atau-minus akar dari 1) / (2 x 1) = (3 plus-atau-minus 1) / 2. Hasilnya x1 = (3 + 1) / 2 = 2 dan x2 = (3 - 1) / 2 = 1.

Kedua akar ini dapat diperiksa dengan memfaktorkan persamaan aslinya: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), yang bernilai nol tepat ketika x = 1 atau x = 2, sehingga jawaban rumus tadi terkonfirmasi. Pemeriksaan lanjutan dapat memakai rumus Vieta: jumlah akar seharusnya sama dengan -b/a = 3, dan memang 2 + 1 = 3; hasil kalinya seharusnya sama dengan c/a = 2, dan memang 2 x 1 = 2.

Contoh 2: satu akar real kembar (D = 0)

Selesaikan x^2 - 4x + 4 = 0. Di sini a = 1, b = -4, c = 4. Diskriminannya adalah (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, sehingga yang diharapkan adalah satu akar kembar. Karena diskriminannya nol, rumusnya langsung menyederhana menjadi x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.

Persamaan ini terfaktor sebagai (x - 2)^2 = 0, yang menegaskan bahwa x = 2 adalah satu-satunya akar, terhitung dua kali (dengan multiplisitas 2). Secara geometris, parabola y = x^2 - 4x + 4 hanya menyinggung sumbu x di titik puncaknya, (2, 0), alih-alih menembusnya — dan itulah ciri visual dari diskriminan bernilai nol.

Contoh 3: dua akar kompleks sekawan (D < 0)

Selesaikan x^2 + 2x + 5 = 0. Di sini a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminannya adalah 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, bernilai negatif, sehingga tidak ada akar real. Menerapkan rumusnya: x = (-2 plus-atau-minus akar dari -16) / (2 x 1). Akar dari -16 adalah 4i, karena (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, sehingga x = (-2 plus-atau-minus 4i) / 2 = -1 plus-atau-minus 2i.

Jadi kedua akarnya adalah -1 + 2i dan -1 - 2i, sepasang bilangan kompleks sekawan — artinya keduanya berbagi bagian real yang sama (-1) dan memiliki bagian imajiner yang berlawanan tanda. Parabola y = x^2 + 2x + 5 seluruhnya berada di atas sumbu x (nilai minimumnya, pada x = -1, adalah 4), dan itulah alasan grafis mengapa ia tidak pernah memotong sumbu tersebut sehingga tidak punya akar real.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu rumus kuadrat?

Rumus kuadrat menyelesaikan setiap persamaan berbentuk ax^2 + bx + c = 0, dengan a tidak nol, dan menyatakan bahwa x = (-b plus-atau-minus akar dari b^2 - 4ac), seluruhnya dibagi 2a. Rumus ini diturunkan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bentuk umum persamaan kuadrat dan berlaku untuk semua persamaan kuadrat, baik yang dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat maupun tidak.

Apa yang diberitahukan diskriminan?

Diskriminan, b^2 - 4ac, adalah ekspresi di bawah tanda akar dalam rumus kuadrat, dan tandanya mengungkap jenis akar persamaan sebelum kita menyelesaikannya. Diskriminan positif berarti dua akar real yang berbeda, diskriminan nol berarti satu akar real kembar pada x = -b/(2a), sedangkan diskriminan negatif berarti dua akar kompleks sekawan dan tidak ada penyelesaian real.

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat berakar kompleks?

Ketika diskriminan b^2 - 4ac bernilai negatif, akarkan nilai mutlaknya lalu bubuhkan satuan imajiner i. Untuk x^2 + 2x + 5 = 0, diskriminannya -16, dan akar dari -16 adalah 4i, sehingga akarnya x = (-2 plus-atau-minus 4i) / 2 = -1 plus-atau-minus 2i — sepasang bilangan kompleks sekawan.

Dari mana rumus kuadrat berasal?

Rumus ini berasal dari melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum ax^2 + bx + c = 0. Membagi dengan a, memisahkan konstantanya, lalu menambahkan (b/2a)^2 pada kedua ruas mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, (x + b/2a)^2. Mengakarkan kedua ruas dan mengisolasi x menghasilkan x = (-b plus-atau-minus akar dari b^2 - 4ac) / (2a).

Bisakah persamaan kuadrat punya tepat satu penyelesaian?