चतुर्थांश चिह्न और मानक इकाई-वृत्त कोण
ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या में से हर एक का चारों चतुर्थांशों में एक निश्चित चिह्न पैटर्न होता है, और नीचे दिए गए मानक संदर्भ कोणों पर ये ठीक-ठीक मान लेते हैं।
| चतुर्थांश | कोण सीमा | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | धनात्मक | धनात्मक | धनात्मक |
| II | 90°–180° | धनात्मक | ऋणात्मक | ऋणात्मक |
| III | 180°–270° | ऋणात्मक | ऋणात्मक | धनात्मक |
| IV | 270°–360° | ऋणात्मक | धनात्मक | ऋणात्मक |
- संदर्भ कोण हमेशा टर्मिनल भुजा और x-अक्ष के बीच का न्यूनकोण (0°–90°) होता है; इसे चतुर्थांश के चिह्न पैटर्न के साथ उपयोग करके किसी भी कोण के लिए मानक 0°/30°/45°/60°/90° मानों से ठीक-ठीक त्रिकोणमितीय मान निकाले जाते हैं।
- 90° और 270° पर (और उनके सहटर्मिनल समकक्षों पर) स्पर्शज्या अपरिभाषित होती है, क्योंकि उन कोणों पर कोज्या शून्य होती है।
- 360° से बड़े या ऋणात्मक कोणों को चतुर्थांश और संदर्भ कोण तय करने से पहले [0°, 360°) सीमा के भीतर एक सहटर्मिनल कोण में बदल दिया जाता है।
इकाई वृत्त क्या है?
इकाई वृत्त निर्देशांक तल के मूलबिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त (counterclockwise) मापे गए किसी भी कोण θ के लिए, जिस बिंदु पर कोण की टर्मिनल भुजा वृत्त को काटती है, उसके निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं — जिससे इकाई वृत्त सभी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के लिए एक दृश्य और गणनात्मक आधार बन जाता है।
चूँकि वृत्त की त्रिज्या ठीक 1 है, ज्या और कोज्या के मान बिना किसी स्केलिंग के सीधे निर्देशांक के रूप में पढ़े जा सकते हैं। यह कैलकुलेटर सहटर्मिनल कोण (0° और 360° के बीच का संगत कोण), टर्मिनल भुजा जिस चतुर्थांश में पड़ती है, और संदर्भ कोण (निकटतम x-अक्ष तक का न्यूनकोण) भी बताता है, जो मिलकर त्रिकोणमितीय मानों के चिह्न और परिमाण को समझाते हैं।
इस इकाई वृत्त कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- कोण का मान दर्ज करें।
- कोण की इकाई चुनें: डिग्री या रेडियन।
- कोण के लिए ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या पढ़ें, साथ ही उसका चतुर्थांश, संदर्भ कोण और सहटर्मिनल कोण (एक ही 0°–360° घुमाव के भीतर संगत कोण)।
इकाई वृत्त के सूत्र
चूँकि इकाई वृत्त की त्रिज्या 1 है, किसी बिंदु के (x, y) निर्देशांक (cos θ, sin θ) के बिल्कुल बराबर होते हैं — सामान्य वृत्त के विपरीत, त्रिज्या से किसी अतिरिक्त स्केलिंग की आवश्यकता नहीं होती।
सामान्य गलतियाँ
- डिग्री मान दर्ज करते समय कोण की इकाई को रेडियन पर छोड़ देना, या इसका उल्टा, जिससे देखने में सही लेकिन गलत परिणाम मिलता है।
- चतुर्थांश I के बाहर के कोणों के लिए यह मान लेना कि संदर्भ कोण इनपुट कोण के बराबर है — संदर्भ कोण हमेशा निकटतम x-अक्ष से मापा जाता है, 0° से नहीं।
- 90° या 270° पर संख्यात्मक स्पर्शज्या मान की अपेक्षा करना, जहाँ कोज्या शून्य होने के कारण स्पर्शज्या अपरिभाषित है।
- यह भूल जाना कि ऋणात्मक कोण और 360° से बड़े कोण एक पूरे घुमाव (0°–360°) के भीतर किसी सहटर्मिनल कोण के बराबर होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
225 डिग्री पर sin और cos क्या हैं?
225° पर, sin(225°) = cos(225°) = −0.707107 (दोनों −√2/2 के बराबर)। ऐसा इसलिए है क्योंकि 225° चतुर्थांश III में पड़ता है, जहाँ संदर्भ कोण 45° (225° − 180°) है और ज्या व कोज्या दोनों ऋणात्मक हैं।
225 डिग्री किस चतुर्थांश में है?
225°, चतुर्थांश III (180°–270°) में पड़ता है, जहाँ ज्या और कोज्या दोनों ऋणात्मक हैं और स्पर्शज्या धनात्मक है। इसका संदर्भ कोण 225° − 180° = 45° है।
संदर्भ कोण क्या है?
संदर्भ कोण वह न्यूनकोण है, जो हमेशा 0° और 90° के बीच होता है, और किसी कोण की टर्मिनल भुजा तथा x-अक्ष के बीच बनता है। 225° के कोण के लिए, संदर्भ कोण 45° है, क्योंकि 225°, 180° के निशान से 45° आगे है।
सहटर्मिनल कोण (coterminal angle) क्या है?
सहटर्मिनल कोण वह कोण है जो 0°–360° की सीमा (या एक पूरे घुमाव) में घटाए जाने पर वही टर्मिनल भुजा साझा करता है। 585° के कोण का सहटर्मिनल कोण 585° − 360° = 225° है, क्योंकि दोनों वृत्त पर एक ही स्थिति दर्शाते हैं।
इकाई वृत्त पर tan(90°) अपरिभाषित क्यों है?
स्पर्शज्या sin θ / cos θ के बराबर होती है, और 90° पर इकाई वृत्त पर बिंदु (0, 1) है, यानी cos(90°) = 0। शून्य से भाग अपरिभाषित होता है, इसलिए 90° पर (और 270° पर, जहाँ कोज्या भी शून्य है) स्पर्शज्या का कोई मान नहीं है।
30°, 45° और 60° पर ठीक-ठीक sin और cos मान क्या हैं?
sin(30°) = 0.5 और cos(30°) ≈ 0.866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0.707107; sin(60°) ≈ 0.866025 और cos(60°) = 0.5। ये सबसे अधिक याद किए जाने वाले इकाई-वृत्त मान हैं, जो सभी चतुर्थांश I में हैं।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).