इकाई वृत्त पर निर्देशांक: (cos theta, sin theta)
इकाई वृत्त एक ऐसा वृत्त है जिसकी त्रिज्या ठीक 1 है, जो निर्देशांक तल के मूल बिंदु (0,0) पर केंद्रित है। किसी भी कोण theta के लिए, जिसे धनात्मक x-अक्ष से शुरू करके वामावर्त मापा जाता है, मूल बिंदु से उस कोण पर एक रेखा खींचना और यह पता लगाना कि वह वृत्त को कहां काटती है, एक ऐसा बिंदु देता है जिसका x-निर्देशांक cos(theta) के बराबर होता है और जिसका y-निर्देशांक sin(theta) के बराबर होता है -- सीधे, बिना किसी स्केलिंग की आवश्यकता के, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या 1 है।
यह हर त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अंतर्गत आने वाली ज्यामितीय परिभाषा है: कोज्या, परिभाषा के अनुसार, किसी दिए गए कोण पर इकाई वृत्त पर x-निर्देशांक है, और ज्या y-निर्देशांक है। स्पर्शज्या (टैंजेंट) सीधे इन दोनों के अनुपात के रूप में मिलती है: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), जो ज्यामितीय रूप से मूल बिंदु से वृत्त पर उस बिंदु तक जाने वाली रेखा की ढाल (स्लोप) को दर्शाता है।
चतुर्थांश चिह्न: ज्या और कोज्या कहां धनात्मक या ऋणात्मक होते हैं
निर्देशांक तल x- और y-अक्षों द्वारा चार चतुर्थांशों में विभाजित होता है, और चूंकि ज्या और कोज्या केवल इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के y- और x-निर्देशांक हैं, इसलिए प्रत्येक चतुर्थांश में उनके चिह्न उस चतुर्थांश में निर्देशांकों के चिह्न से सीधे निर्धारित होते हैं।
इस पैटर्न को कभी-कभी "ऑल स्टूडेंट्स टेक कैलकुलस" स्मरण-सूत्र से याद किया जाता है, जो चतुर्थांश I से वामावर्त बढ़ते हुए प्रत्येक चतुर्थांश में कौन से फलन धनात्मक हैं, इसे दर्शाता है: चतुर्थांश I में तीनों फलन धनात्मक, चतुर्थांश II में केवल ज्या (साइन) धनात्मक, चतुर्थांश III में केवल स्पर्शज्या (टैंजेंट) धनात्मक, और चतुर्थांश IV में केवल कोज्या (कोसाइन) धनात्मक।
| चतुर्थांश | कोण सीमा | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | धनात्मक | धनात्मक | धनात्मक |
| II | 90°-180° | धनात्मक | ऋणात्मक | ऋणात्मक |
| III | 180°-270° | ऋणात्मक | ऋणात्मक | धनात्मक |
| IV | 270°-360° | ऋणात्मक | धनात्मक | ऋणात्मक |
संदर्भ कोण: चतुर्थांश I से बाहर एग्जैक्ट मान ज्ञात करना
संदर्भ कोण वह न्यूनकोण है, जो हमेशा 0 और 90 डिग्री के बीच होता है, और जो किसी कोण की अंतिम भुजा (टर्मिनल साइड) और x-अक्ष के निकटतम बिंदु के बीच बनता है। संदर्भ कोण किसी भी कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शज्या का एग्जैक्ट मान ज्ञात करना संभव बनाते हैं, इसे पांच मानक चतुर्थांश-I कोणों में से किसी एक से जोड़कर, फिर मूल कोण जिस चतुर्थांश में वास्तव में स्थित है उसके अनुसार सही चिह्न लागू करके।
उदाहरण के लिए, 150 डिग्री का कोण चतुर्थांश II में स्थित है, और इसका संदर्भ कोण 180 - 150 = 30 डिग्री है। चूंकि चतुर्थांश II में ज्या धनात्मक होती है, sin(150 डिग्री) धनात्मक sin(30 डिग्री) = 0.5 के बराबर है। चतुर्थांश II में कोज्या ऋणात्मक होती है, इसलिए cos(150 डिग्री) ऋणात्मक cos(30 डिग्री) के बराबर है, जो लगभग -0.8660 है। संदर्भ कोण परिमाण (मैग्निट्यूड) प्रदान करता है; चतुर्थांश चिह्न प्रदान करता है।
मानक 0/30/45/60/90-डिग्री तालिका
पांच कोण -- 0, 30, 45, 60 और 90 डिग्री, सभी चतुर्थांश I के भीतर -- ऐसे ज्या और कोज्या मान रखते हैं जिन्हें लंबे दशमलवों के बजाय एग्जैक्ट संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और ये संदर्भ कोणों के माध्यम से हर अन्य मानक कोण पर एग्जैक्ट त्रिकोणमितीय मान ज्ञात करने की नींव बनाते हैं। नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक के लिए एग्जैक्ट रूप और दशमलव सन्निकटन (एप्रॉक्सिमेशन) दोनों सूचीबद्ध हैं।
समरूपता (सिमेट्री) पर ध्यान दें: 0 से 90 डिग्री तक के ज्या मान (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) ठीक उल्टे क्रम में कोज्या मान हैं, जो ज्या और कोज्या के पूरक (कॉम्प्लिमेंटरी) फलन होने का सीधा परिणाम है -- किसी भी कोण theta के लिए sin(theta) = cos(90 डिग्री - theta)।
| कोण | sin theta (एग्जैक्ट) | sin theta (दशमलव) | cos theta (एग्जैक्ट) | cos theta (दशमलव) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0.5 | sqrt(3)/2 | 0.8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0.7071 | sqrt(2)/2 | 0.7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0.8660 | 1/2 | 0.5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
सह-अंतिम (कोटर्मिनल) कोण और एक घूर्णन से आगे जाना
360 डिग्री से बड़े कोण, या ऋणात्मक कोण, फिर भी इकाई वृत्त पर एक विशिष्ट बिंदु के अनुरूप होते हैं -- वे बस वृत्त के चारों ओर एक या अधिक अतिरिक्त बार लपेटते हैं। सह-अंतिम कोण वह समतुल्य कोण है जो एक ही 0-से-360-डिग्री घूर्णन के भीतर होता है, जिसे परिणाम उस सीमा में आने तक 360 डिग्री के गुणकों को जोड़कर या घटाकर ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण के लिए, 405 डिग्री के कोण का सह-अंतिम कोण 405 - 360 = 45 डिग्री है, जिसका अर्थ है कि दोनों कोण इकाई वृत्त पर बिल्कुल एक ही स्थान की ओर इशारा करते हैं और इसलिए समान ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या मान साझा करते हैं। इसी तरह, -30 डिग्री के कोण का सह-अंतिम कोण -30 + 360 = 330 डिग्री है, जो चतुर्थांश IV में स्थित है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
किसी दिए गए कोण पर इकाई वृत्त के बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापे गए किसी भी कोण theta के लिए, इकाई वृत्त पर संबंधित बिंदु के निर्देशांक ठीक-ठीक (cos theta, sin theta) होते हैं -- x-निर्देशांक हमेशा कोण की कोज्या होता है, और y-निर्देशांक हमेशा कोण की ज्या होता है, बिना किसी अतिरिक्त स्केलिंग की आवश्यकता के क्योंकि वृत्त की त्रिज्या 1 है।
sin(60 डिग्री) का एग्जैक्ट मान क्या है?
sin(60 डिग्री), 3 का वर्गमूल भाग 2 के बराबर है, यह एक एग्जैक्ट मान है जो लगभग 0.8660 के बराबर है। इसका पूरक सह-फलन, cos(60 डिग्री), ठीक 1/2 = 0.5 के बराबर है, जो sin(60 डिग्री) = cos(90 डिग्री - 60 डिग्री) = cos(30 डिग्री) के अनुरूप है।
संदर्भ कोण कैसे ज्ञात करें?
संदर्भ कोण किसी कोण की अंतिम भुजा और निकटतम x-अक्ष के बीच का न्यूनकोण है। चतुर्थांश II में, कोण को 180 डिग्री से घटाएं; चतुर्थांश III में, कोण से 180 डिग्री घटाएं; चतुर्थांश IV में, कोण को 360 डिग्री से घटाएं। 150 डिग्री (चतुर्थांश II) के लिए, संदर्भ कोण 180 - 150 = 30 डिग्री है।
चतुर्थांश II में कोज्या ऋणात्मक क्यों होती है?
क्योंकि कोज्या इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के x-निर्देशांक के बराबर होती है, और चतुर्थांश II (90 और 180 डिग्री के बीच के कोण) के हर बिंदु का x-निर्देशांक ऋणात्मक होता है, जो y-अक्ष के बाईं ओर स्थित होता है। ज्या वहां धनात्मक रहती है, क्योंकि चतुर्थांश II के बिंदुओं का y-निर्देशांक अभी भी धनात्मक होता है।
सह-अंतिम (कोटर्मिनल) कोण क्या है?
सह-अंतिम कोण एक ऐसा कोण है जो पूर्ण संख्या में 360-डिग्री घूर्णनों से घटाए (या बढ़ाए) जाने के बाद इकाई वृत्त के बिल्कुल उसी बिंदु पर पहुंचता है। 405 डिग्री के कोण का सह-अंतिम कोण 405 - 360 = 45 डिग्री है, क्योंकि दोनों वृत्त पर एक ही स्थिति का वर्णन करते हैं और इसलिए समान ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या मान साझा करते हैं।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).