सामान्य कोण मान
नीचे दी गई तालिका सबसे अधिक उपयोग होने वाले कोणों के लिए ठीक ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या मान बताती है, जो छह दशमलव स्थानों तक जाँचे गए हैं।
| कोण | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0.5 | 0.866025 | 0.577350 |
| 45° | 0.707107 | 0.707107 | 1 |
| 60° | 0.866025 | 0.5 | 1.732051 |
| 90° | 1 | 0 | अपरिभाषित |
- 90° पर (और हर 90° + 180°k पर) स्पर्शज्या अपरिभाषित होती है क्योंकि वहाँ कोज्या शून्य होती है, जिससे अनुपात sin/cos अपरिभाषित हो जाता है।
- डिग्री/रेडियन सेटिंग को मिला देना त्रिकोणमिति की सबसे आम गलती है — 30 का वही संख्यात्मक मान डिग्री (30°) और रेडियन (लगभग 1719°) में बिल्कुल अलग कोण दर्शाता है।
- व्युत्क्रम फ़ंक्शनों के लिए, व्युत्क्रम ज्या या व्युत्क्रम कोज्या हेतु [−1, 1] के बाहर का मान दर्ज करना गणितीय रूप से अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी वास्तविक कोण की ज्या या कोज्या उस सीमा से बाहर नहीं होती।
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन क्या हैं?
ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं की लंबाई के अनुपातों से जोड़ते हैं: ज्या = लंब / कर्ण, कोज्या = आधार / कर्ण, और स्पर्शज्या = लंब / आधार (जो sin θ / cos θ के बराबर भी है)। इनके व्युत्क्रम फ़ंक्शन — व्युत्क्रम ज्या, व्युत्क्रम कोज्या और व्युत्क्रम स्पर्शज्या — इनपुट के रूप में एक अनुपात लेते हैं और संगत कोण लौटाते हैं।
ज्या और कोज्या के लिए, दोनों फ़ंक्शन एक-दूसरे के पूरक (complementary) हैं: sin(θ) = cos(90° − θ)। यह कैलकुलेटर sin, cos, asin और acos के लिए मुख्य परिणाम के साथ वह सह-फलन मान दिखाता है, और स्पर्शज्या के साथ कोटिस्पर्शज्या (cotangent) दिखाता है, ताकि जुड़े फ़ंक्शनों के बीच का संबंध एक नज़र में दिखे।
इस त्रिकोणमिति कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- फ़ंक्शन चुनें: sin, cos, tan, या उनके व्युत्क्रम sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹।
- कोण की इकाई चुनें: डिग्री या रेडियन। यह प्रत्यक्ष फ़ंक्शनों के कोण-इनपुट पर और व्युत्क्रम फ़ंक्शनों द्वारा लौटाए गए कोण पर, दोनों पर लागू होती है।
- मान दर्ज करें — sin/cos/tan के लिए एक कोण, या व्युत्क्रम फ़ंक्शनों के लिए एक अनुपात।
- परिणाम और, जहाँ लागू हो, संबंधित सह-फलन मान पढ़ें।
त्रिकोणमितीय अनुपात सूत्र
व्युत्क्रम फ़ंक्शन asin और acos के लिए इनपुट −1 और 1 के बीच (दोनों सम्मिलित) होना चाहिए, क्योंकि ज्या और कोज्या के मान कभी उस सीमा से बाहर नहीं जाते।
सामान्य गलतियाँ
- कैलकुलेटर को गलत कोण-इकाई मोड (डिग्री बनाम रेडियन) में छोड़ देना, जिससे बिल्कुल अलग — लेकिन देखने में सही जैसा लगने वाला — परिणाम मिलता है।
- व्युत्क्रम ज्या या व्युत्क्रम कोज्या के इनपुट में अनुपात के बजाय कोई कोण दर्ज कर देना।
- यह उम्मीद करना कि tan(90°) कोई बड़ी संख्या लौटाएगा, न कि "अपरिभाषित" — गणितीय रूप से वहाँ स्पर्शज्या फ़ंक्शन का एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (asymptote) होता है।
- किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्क्रम से भ्रमित करना, जैसे cos⁻¹ चाहने पर sin उपयोग करना।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
sin(30°) क्या है?
sin(30°) = ठीक 0.5। इसका सह-फलन, cos(30°), √3/2 ≈ 0.866025 के बराबर है, जो sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°) से मेल खाता है।
cos(45°) क्या है?
cos(45°) = √2/2 ≈ 0.707107, जो sin(45°) के ठीक बराबर है, क्योंकि 45° अपना खुद का पूरक कोण है (90° − 45° = 45°)।
tan(90°) अपरिभाषित क्यों है?
स्पर्शज्या ज्या को कोज्या से भाग देने पर मिलती है, और cos(90°) = 0। शून्य से भाग अपरिभाषित होता है, इसलिए tan(90°) का कोई परिमित मान नहीं है — स्पर्शज्या फ़ंक्शन का 90° पर और उसके आगे हर 180° पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होता है।
sin और sin⁻¹ में क्या अंतर है?
sin(θ) एक कोण लेता है और −1 से 1 के बीच का अनुपात लौटाता है। sin⁻¹(x), यानी व्युत्क्रम ज्या, इसका उल्टा करता है: यह −1 से 1 के बीच का अनुपात लेता है और संगत कोण लौटाता है।
डिग्री और रेडियन के बीच कैसे बदलें?
रेडियन पाने के लिए डिग्री को π/180 से गुणा करें, या डिग्री पाने के लिए रेडियन को 180/π से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 60° × π/180 ≈ 1.0472 रेडियन।
arcsin(0.5) क्या है?
arcsin(0.5) = 30° (या π/6 रेडियन), क्योंकि sin(30°) = 0.5। कैलकुलेटर संगत सह-फलन कोण, arccos(0.5) = 60° भी दिखाता है, क्योंकि 30° + 60° = 90°।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).