एक ही कोण को मापने के दो तरीके
डिग्री किसी वृत्त के चारों ओर एक पूर्ण घूर्णन को 360 बराबर भागों में विभाजित करती है, यह परंपरा प्राचीन बेबीलोनियाई खगोलशास्त्र और इसकी आधार-60 संख्या प्रणाली से चली आ रही है। एक समकोण 90 डिग्री होता है, एक सीधी रेखा 180 डिग्री होती है, और एक पूर्ण चक्कर 360 डिग्री होता है।
रेडियन इसके बजाय किसी कोण को वृत्त पर काटे गए चाप की लंबाई और उस वृत्त की त्रिज्या के अनुपात से मापता है: 1 रेडियन का कोण वह कोण है जिसके लिए चाप की लंबाई ठीक त्रिज्या के बराबर होती है। चूंकि किसी वृत्त की पूरी परिधि 2 x pi x त्रिज्या होती है, इसलिए एक पूर्ण घूर्णन ठीक 2 x pi रेडियन -- लगभग 6.2832 रेडियन -- होती है, चाहे वृत्त का वास्तविक आकार कुछ भी हो, क्योंकि रेडियन दो लंबाइयों का अनुपात है और इसलिए इसकी अपनी कोई इकाई नहीं होती।
कैलकुलस के लिए रेडियन स्वाभाविक इकाई क्यों हैं
रेडियन सीधे वृत्त की अपनी ज्यामिति (चाप की लंबाई भाग त्रिज्या) से परिभाषित होते हैं, न कि 360 जैसे किसी मनमाने विभाजन से, यही कारण है कि रेडियन में व्यक्त फॉर्मूले अधिक सरल होते हैं। उदाहरण के लिए, चाप-लंबाई फॉर्मूला, s = r x theta है जब theta रेडियन में हो, बिना किसी अतिरिक्त कन्वर्जन स्थिरांक की आवश्यकता के; डिग्री में यही फॉर्मूला pi/180 का एक अतिरिक्त गुणक मांगता है।
यह सरलता कैलकुलस में आवश्यक हो जाती है: sin(x) का अवकलज ठीक-ठीक cos(x) तभी होता है जब x को रेडियन में मापा जाए। यदि x को इसके बजाय डिग्री में मापा जाता, तो अवकलज में pi/180 का एक अतिरिक्त स्थिरांक गुणक जुड़ जाता, क्योंकि डिग्री-आधारित ज्या फलन वास्तव में रेडियन-आधारित फलन के संदर्भ में sin(x x pi/180) है। चूंकि यह अतिरिक्त स्थिरांक त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े हर अवकलज, समाकल (इंटीग्रल) और श्रेणी विस्तार को जटिल बना देता है, गणितज्ञ और वैज्ञानिक कैलकुलस और उच्च गणित में डिफ़ॉल्ट रूप से रेडियन का उपयोग करते हैं, और डिग्री मुख्य रूप से नेविगेशन, सर्वेक्षण और निर्माण जैसे रोजमर्रा और व्यावहारिक संदर्भों के लिए आरक्षित रखते हैं।
डिग्री और रेडियन के बीच कन्वर्जन
चूंकि एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री और 2 x pi रेडियन दोनों के बराबर होती है, इसलिए दोनों इकाइयां एक निश्चित अनुपात से संबंधित हैं: डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, pi/180 से गुणा करें; रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, 180/pi से गुणा करें। नीचे दी गई तालिका में त्रिकोणमिति में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कोणों के लिए सत्यापित कन्वर्जन सूचीबद्ध हैं।
| डिग्री | रेडियन (एग्जैक्ट, pi के संदर्भ में) | रेडियन (दशमलव) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | pi/6 | 0.5236 |
| 45° | pi/4 | 0.7854 |
| 60° | pi/3 | 1.0472 |
| 90° | pi/2 | 1.5708 |
| 180° | pi | 3.1416 |
| 270° | 3pi/2 | 4.7124 |
| 360° | 2pi | 6.2832 |
क्लासिक कैलकुलेटर-मोड की गलती
त्रिकोणमिति की सबसे आम गलती एक इकाई में कोण दर्ज करना है जबकि कैलकुलेटर या प्रोग्राम उसे दूसरी इकाई में समझने के लिए सेट है, क्योंकि डिग्री और रेडियन दोनों सादा संख्यात्मक इनपुट स्वीकार करते हैं और गलत मोड चुने जाने पर भी कोई भी मोड कोई त्रुटि संदेश नहीं देता -- केवल एक गलत दिखने वाला उत्तर मिलता है जिसे नोटिस करना आसान नहीं है यदि सही परिणाम पहले से ज्ञात न हो।
उदाहरण के लिए, sin(30) सक्रिय मोड के आधार पर बहुत अलग-अलग मान देता है: कैलकुलेटर को डिग्री पर सेट करने पर, sin(30 डिग्री) = ठीक 0.5। उसी कैलकुलेटर को गलती से रेडियन मोड में छोड़ने पर, sin(30 रेडियन) इसके बजाय लगभग -0.9880 होता है -- एक ऐसा मान जिसका चिह्न गलत है और परिमाण भी बिल्कुल भिन्न है, जबकि की-स्ट्रोक बिल्कुल समान थे। चूंकि 30 रेडियन लगभग 1,718.9 डिग्री (इच्छित 30-डिग्री कोण से कई पूर्ण घूर्णन आगे) के बराबर होता है, इसलिए दोनों परिणाम मूल रूप से असंबंधित कोणों का वर्णन करते हैं।
कौन सी इकाई कब उपयोग करनी चाहिए
डिग्री रोजमर्रा और व्यावहारिक उपयोगों के लिए मानक बनी हुई है, जहां संख्या का मानव-पठनीय और सहज होना जरूरी है -- नेविगेशन हेडिंग, निर्माण के कोण, भौगोलिक निर्देशांक और अधिकांश उपभोक्ता कैलकुलेटर इसी कारण डिफ़ॉल्ट रूप से डिग्री का उपयोग करते हैं। रेडियन कैलकुलस, भौतिकी, इंजीनियरिंग और अवकलज, समाकल या त्रिकोणमितीय श्रेणियों से जुड़े किसी भी संदर्भ में मानक हैं, क्योंकि अंतर्निहित फॉर्मूले रेडियन में अधिक सरल और आयामी रूप से स्वच्छ (क्लीनर) होते हैं।
संदर्भों के बीच स्विच करते समय -- उदाहरण के लिए, किसी तकनीकी ड्रॉइंग से डिग्री-आधारित कोण लेकर उसे कैलकुलस-आधारित भौतिकी फॉर्मूले में उपयोग करते समय -- आगे बढ़ने से पहले pi/180 या 180/pi गुणक से स्पष्ट रूप से कन्वर्ट करना ऊपर वर्णित मोड-मिसमैच त्रुटि से बचाता है, और किसी फॉर्मूला या प्रोग्रामिंग फंक्शन की डिफ़ॉल्ट कोण इकाई को उसके दस्तावेज़ीकरण की जांच किए बिना मान लेने से अधिक सुरक्षित है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मैं डिग्री को रेडियन में कैसे बदलूं?
डिग्री में कोण को pi/180 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 60 डिग्री x pi/180 = pi/3 रेडियन, जो लगभग 1.0472 रेडियन के बराबर है।
मैं रेडियन को डिग्री में कैसे बदलूं?
रेडियन में कोण को 180/pi से गुणा करें। उदाहरण के लिए, pi/4 रेडियन x 180/pi = ठीक 45 डिग्री।
कैलकुलस डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग क्यों करता है?
क्योंकि रेडियन सीधे किसी वृत्त की अपनी ज्यामिति (चाप की लंबाई भाग त्रिज्या) से परिभाषित होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े फॉर्मूले रेडियन में अधिक सरल होते हैं -- सबसे महत्वपूर्ण बात, sin(x) का अवकलज ठीक-ठीक cos(x) तभी होता है जब x रेडियन में हो। डिग्री में, वही अवकलज pi/180 का एक अतिरिक्त स्थिरांक गुणक ले लेता है, जो आगे आने वाले हर अवकलज, समाकल और श्रेणी विस्तार को जटिल बना देता है।
अगर कैलकुलेटर को गलत कोण मोड में छोड़ दिया जाए तो क्या होता है?
परिणाम संख्यात्मक रूप से मान्य दिखेगा लेकिन एक पूरी तरह से भिन्न कोण का वर्णन करेगा। उदाहरण के लिए, sin(30 डिग्री) = ठीक 0.5, जबकि sin(30 रेडियन) लगभग -0.9880 होता है, क्योंकि 30 रेडियन लगभग 1,718.9 डिग्री के बराबर होता है -- इच्छित 30-डिग्री कोण से कई पूर्ण घूर्णन आगे।
क्या pi रेडियन 180 डिग्री के बराबर है?
हां। एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री और 2 x pi रेडियन दोनों के बराबर होती है, इसलिए आधा घूर्णन -- एक सीधी रेखा -- 180 डिग्री और ठीक pi रेडियन (लगभग 3.1416 रेडियन) दोनों के बराबर होता है।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Radian" and "Degree." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (radian measure and derivatives of trigonometric functions).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (degree-radian conversion and angle measurement conventions).