सामान्य कोणों पर चाप, जीवा और त्रिज्यखंड
नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि त्रिज्या 10 वाले वृत्त के लिए कई सामान्य केंद्रीय कोणों पर चाप की लंबाई जीवा की लंबाई से किस तरह तुलना करती है।
| केंद्रीय कोण | चाप की लंबाई (r=10) | जीवा की लंबाई (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5.2360 | 5.1764 |
| 60° | 10.4720 | 10.0000 |
| 90° | 15.7080 | 14.1421 |
| 180° | 31.4159 | 20.0000 |
| 360° | 62.8319 (पूरी परिधि) | 0 (आरंभ = अंत बिंदु) |
- 360° पर, चाप की लंबाई पूरी परिधि (2πr) के बराबर होती है और जीवा की लंबाई शून्य होती है क्योंकि आरंभ और अंत बिंदु मिल जाते हैं।
- समान कोण के लिए चाप की लंबाई हमेशा जीवा की लंबाई से बड़ी या उसके बराबर होती है, क्योंकि सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता है और चाप उनके बीच घुमावदार रास्ते से गुज़रती है।
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल केवल 0° और 360° के बीच सख्ती से पड़ने वाले कोणों के लिए सार्थक है; ठीक 0° पर त्रिज्यखंड और वृत्तखंड दोनों का क्षेत्रफल शून्य होता है।
चाप की लंबाई, जीवा की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या हैं?
चाप वृत्त की परिधि का घुमावदार हिस्सा है, जो दो त्रिज्याओं और एक केंद्रीय कोण से घिरा होता है। चाप की लंबाई उस वक्र के साथ की दूरी है। जीवा वह सीधी रेखाखंड है जो चाप के दोनों सिरों को जोड़ती है — जब तक कोण नगण्य रूप से छोटा न हो, यह हमेशा चाप से छोटी होती है।
त्रिज्यखंड वह पाई-स्लाइस के आकार का क्षेत्र है जो चाप और दो त्रिज्याओं से घिरा होता है; वृत्तखंड वह छोटा क्षेत्र है जो चाप और जीवा से घिरा होता है (पाई-स्लाइस में से दो त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज को घटाने पर)। चारों राशियाँ सीधे त्रिज्या और केंद्रीय कोण से निकाली जाती हैं।
इस चाप-लंबाई कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- वृत्त की त्रिज्या दर्ज करें।
- केंद्रीय कोण डिग्री में, 0° और 360° के बीच दर्ज करें।
- चाप की लंबाई, जीवा की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और वृत्तखंड का क्षेत्रफल पढ़ें, जो तुरंत अपडेट होते हैं।
चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के पीछे के सूत्र
सभी सूत्रों के लिए केंद्रीय कोण रेडियन में चाहिए (θ = डिग्री में कोण × π / 180); कैलकुलेटर डिग्री इनपुट से यह रूपांतरण अपने आप कर देता है।
सामान्य गलतियाँ
- कोण रेडियन में दर्ज करना जबकि कैलकुलेटर को डिग्री चाहिए।
- चाप की लंबाई (घुमावदार दूरी) को जीवा की लंबाई (सीधी-रेखा दूरी) से भ्रमित करना — ये केवल तब बराबर होती हैं जब कोण शून्य के करीब पहुँच जाए।
- त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल (दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा) को वृत्तखंड के क्षेत्रफल (जीवा और चाप से घिरा) से भ्रमित करना — वृत्तखंड हमेशा छोटा होता है।
- 360° से बड़ा कोण उपयोग करना, जो एक वृत्त के किसी एक, स्पष्ट रूप से परिभाषित त्रिज्यखंड से मेल नहीं खाता।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
चाप की लंबाई कैसे निकालें?
चाप की लंबाई त्रिज्या गुणा रेडियन में केंद्रीय कोण के बराबर होती है: s = rθ। त्रिज्या 10 और 60° कोण (θ = π/3 रेडियन) के लिए, चाप की लंबाई 10 × π/3 ≈ 10.4720 इकाई है।
चाप की लंबाई और जीवा की लंबाई में क्या अंतर है?
चाप की लंबाई वृत्त के दो बिंदुओं के बीच उसके घुमावदार किनारे के साथ की दूरी है; जीवा की लंबाई उन्हीं दो बिंदुओं के बीच सीधी-रेखा दूरी है। त्रिज्या 10 और 60° कोण के लिए, चाप की लंबाई लगभग 10.4720 है और जीवा की लंबाई ठीक 10 है (क्योंकि जीवा = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10)।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के आधे गुणा रेडियन में केंद्रीय कोण के बराबर होता है: A = ½r²θ। त्रिज्या 10 और 60° कोण के लिए, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ½ × 100 × (π/3) ≈ 52.3599 वर्ग इकाई है।
वृत्त का वृत्तखंड क्या है?
वृत्तखंड जीवा और उसके द्वारा काटे गए चाप के बीच का क्षेत्र है — त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से दो त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर। त्रिज्या 10 और 60° कोण के लिए, वृत्तखंड का क्षेत्रफल ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9.0586 वर्ग इकाई है।
इन सूत्रों के लिए डिग्री को रेडियन में कैसे बदलें?
डिग्री में कोण को π/180 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 60° × π/180 = π/3 रेडियन ≈ 1.0472 रेडियन।
पूरे वृत्त की चाप लंबाई क्या होती है?
360° (2π रेडियन) के केंद्रीय कोण पर, चाप की लंबाई पूरी परिधि, 2πr के बराबर होती है। त्रिज्या 10 के लिए, यह 2π × 10 ≈ 62.8319 इकाई है।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).