अनुपात नतीजों को समझना
एक ही अनुपात के हर आउटपुट रूप का एक अलग उद्देश्य होता है। नीचे दी गई तालिका उदाहरण 4 : 6 का उपयोग करके इनका सारांश देती है।
| रूप | उदाहरण (4 : 6) | सामान्य उपयोग |
|---|---|---|
| सरलीकृत | 2 : 3 | संबंध का सबसे साफ पूर्णांक कथन |
| 1 : n | 1 : 1.5 | अलग-अलग अनुपातों की सीधी तुलना; घोल और गियर अनुपात |
| स्केल किया गया | 10 : 15 | रेसिपी, मिश्रण या मॉडल को ज़रूरी मात्रा के अनुसार समायोजित करना |
- अनुपात A : B, कुल की भिन्न के समान नहीं है: 1 : 4 मिलाने पर पहला घटक मिश्रण का 1/(1+4) = 1/5 = 20% बनता है।
- पदों का क्रम मायने रखता है: 2 : 3 और 3 : 2 अलग-अलग संबंध दर्शाते हैं।
- सबसे सरल रूप में घटाव पूर्णांक अनुपातों पर लागू होता है; दशमलव के साथ दर्ज किए गए अनुपात जैसे दर्ज किए गए हों वैसे ही और 1 : n रूप में दिखाए जाते हैं।
अनुपात क्या है?
अनुपात दो मात्राओं का सापेक्ष आकार व्यक्त करता है, जिसे A : B लिखा और 'A अनुपात B' पढ़ा जाता है। यह बताता है कि पहली मात्रा की कितनी इकाइयां दूसरी मात्रा की कितनी इकाइयों के अनुरूप हैं। अनुपात स्केल-स्वतंत्र होते हैं: 4 : 6, 2 : 3 और 10 : 15 सभी एक ही संबंध दर्शाते हैं, क्योंकि हर एक को दूसरे से दोनों पदों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग करके पाया जा सकता है।
पूर्णांकों का अनुपात तब सबसे सरल रूप (न्यूनतम पद) में होता है जब दोनों पदों का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, जो दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर पाया जाता है। 1 : n रूप दोनों पदों को पहले पद से भाग देता है, जिससे अलग-अलग अनुपातों की सीधे तुलना करना आसान हो जाता है — उदाहरण के लिए, गियर अनुपात या घोल अनुपात की तुलना करना।
अनुपात भिन्नों से गहराई से जुड़े हैं: अनुपात A : B, दूसरी मात्रा की भिन्न A/B के अनुरूप है, और कुल मिलाकर भिन्न A/(A+B) के अनुरूप है। पेंट को 1 : 4 में मिलाने का मतलब है दूसरे घटक के हर 4 भाग के लिए पहले घटक का 1 भाग — यानी कुल का पांचवां हिस्सा, चौथाई नहीं।
इस अनुपात कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- पहली मात्रा (A) और दूसरी मात्रा (B) दर्ज करें। दोनों धनात्मक होनी चाहिए; दशमलव मान्य हैं।
- अगर चाहें तो पहले पद को स्केल करने के लिए एक मूल्य दर्ज करें। स्केलिंग छोड़ने के लिए इसे 0 पर सेट करें।
- सरलीकृत अनुपात (पूर्णांक इनपुट को उनके महत्तम समापवर्तक से घटाया जाता है), 1 : n रूप, और स्केल किया गया अनुपात पढ़ें।
- हाथ से जांचने के लिए, सरलीकरण हेतु दोनों पदों को एक ही संख्या से भाग दें, या स्केलिंग हेतु दोनों पदों को एक ही गुणक से गुणा करें।
अनुपात फॉर्मूले
सरलीकरण: पूर्णांक अनुपात के दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग दें। उदाहरण: 4 : 6। 4 और 6 का GCD 2 है, इसलिए 4 : 6 = 2 : 3। दशमलव पदों वाले अनुपात जैसे दर्ज किए गए हों वैसे ही छोड़े जाते हैं, क्योंकि GCD घटाव पूर्णांकों पर लागू होता है।
इकाई (1 : n) रूप: दोनों पदों को पहले पद से भाग दें। 4 : 6 के लिए, 4 से भाग देने पर 1 : 1.5 मिलता है। यह रूप इस सवाल का जवाब देता है: 'A के हर एक के लिए B के कितने?'
स्केलिंग: पहले पद को लक्ष्य मूल्य T के बराबर बनाने के लिए, दोनों पदों को T / A से गुणा करें। 4 : 6 को पहले पद 10 तक स्केल करने के लिए, गुणक 10 / 4 = 2.5 है, जिससे 10 : 15 मिलता है। संबंध अपरिवर्तित रहता है क्योंकि दोनों पदों को एक ही गुणक से गुणा किया जाता है।
आम गलतियां
- अनुपात को कुल की भिन्न समझ लेना: 1 : 4 मिश्रण का मतलब कुल 5 में से 1 भाग (20%) है, 25% नहीं।
- पदों के क्रम को उलट देना — 2 : 3, 3 : 2 जैसा संबंध नहीं है।
- सिर्फ एक पद को स्केल करना: अनुपात को स्थिर रखने के लिए दोनों पदों को एक ही गुणक से गुणा करना ज़रूरी है।
- गुणा करने के बजाय दोनों पदों में एक ही मात्रा जोड़ना: 4 : 6 और 5 : 7 अलग-अलग अनुपात हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अनुपात को कैसे सरल करें?
दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दें। उदाहरण के लिए, 4 : 6 में 4 और 6 का GCD 2 है, इसलिए सरलीकृत अनुपात 2 : 3 है। पूर्णांक अनुपात तब पूरी तरह सरल होता है जब उसके पदों का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।
1 : 1.5 के अनुपात का क्या मतलब है?
इसका मतलब है कि पहली मात्रा की हर 1 इकाई के लिए दूसरी मात्रा की 1.5 इकाइयां हैं। 1 : n रूप अनुपात के दोनों पदों को पहले पद से भाग देकर पाया जाता है — उदाहरण के लिए, 4 : 6 को 4 से भाग देने पर 1 : 1.5 मिलता है। यह रूप अलग-अलग अनुपातों की सीधे तुलना करने योग्य बनाता है।
अनुपात को नई मात्रा तक कैसे स्केल करें?
दोनों पदों को एक ही गुणक से गुणा करें। 4 : 6 को इस तरह स्केल करने के लिए कि पहला पद 10 बन जाए, दोनों पदों को 10 / 4 = 2.5 से गुणा करें, जिससे 10 : 15 मिलता है। मात्राओं के बीच का संबंध बना रहता है क्योंकि दोनों पद एक ही गुणक से बदलते हैं।
क्या अनुपात और भिन्न एक ही चीज़ हैं?
ये संबंधित हैं लेकिन अलग-अलग सवालों के जवाब देते हैं। अनुपात A : B, पहली मात्रा की दूसरी से तुलना करते समय भिन्न A/B के अनुरूप है, लेकिन पहली मात्रा को कुल के हिस्से के रूप में व्यक्त करते समय A/(A+B) के अनुरूप है। 1 : 4 मिश्रण में पहले घटक का 1/5 (20%) होता है, 1/4 नहीं।
क्या अनुपात में दो से ज़्यादा पद हो सकते हैं?
हां — 2 : 3 : 5 जैसे अनुपात तीन या अधिक मात्राओं की तुलना करते हैं और उसी तरह सरल होते हैं, यानी सभी पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर। यह कैलकुलेटर दो-पद वाले अनुपातों के साथ काम करता है; तीन-तरफा बंटवारे के लिए, कुल-भाग विधि लागू करें: 2 : 3 : 5 में 10 भाग हैं, इसलिए हिस्से 20%, 30% और 50% हैं।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Ratio." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Euclid. Elements, Book V (classical theory of ratio and proportion; standard reference for ratio conventions).