रूपांतरण को समझना
आम समाप्त होने वाले दशमलव सरल भिन्नों के अनुरूप होते हैं जिन्हें याद रखना उपयोगी है। नीचे दी गई तालिका में अक्सर उपयोग होने वाले तुल्यांक हैं।
| दशमलव | भिन्न | प्रतिशत |
|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | 50% |
| 0.25 | 1/4 | 25% |
| 0.75 | 3/4 | 75% |
| 0.2 | 1/5 | 20% |
| 0.125 | 1/8 | 12.5% |
| 0.625 | 5/8 | 62.5% |
| 0.0625 | 1/16 | 6.25% |
- कोई दशमलव तभी ठीक समाप्त होता है जब उसकी सबसे सरल भिन्न के हर के केवल अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 हों। इसीलिए 1/3, 1/6 और 1/7 आवर्ती दशमलव देते हैं।
- आवर्ती दशमलव को बिल्कुल दर्ज नहीं किया जा सकता: 0.333333, 333333/1000000 में बदलता है, 1/3 में नहीं। आवर्ती दशमलव के लिए बीजगणितीय विधि उपयोग करें (मान लें x = 0.333..., तो 10x - x = 3, इसलिए x = 1/3)।
- यह कैलकुलेटर नौ दशमलव स्थानों तक स्वीकार करता है; उससे आगे, फ्लोटिंग-पॉइंट प्रस्तुति सटीक रूपांतरण को सीमित करती है।
दशमलव से भिन्न में रूपांतरण क्या है?
समाप्त होने वाला दशमलव वह संख्या है जिसके अंक एक निश्चित संख्या के दशमलव स्थानों के बाद खत्म हो जाते हैं, जैसे 0.625 या 0.32। हर समाप्त होने वाला दशमलव ऐसी भिन्न के रूप में बिल्कुल लिखा जा सकता है जिसका हर दस की घात हो: दशमलव बिंदु के बाद के अंक अंश बनाते हैं, और हर दस की उतनी घात होता है जितने दशमलव स्थान हैं। 0.625 में तीन दशमलव स्थान हैं, इसलिए यह 625/1000 के बराबर है।
फिर परिणामी भिन्न को अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग देकर सबसे सरल रूप में लाया जाता है। 625/1000 के लिए, GCD 125 है, जिससे 5/8 मिलता है। पूर्णांकों की भिन्न को परिमेय संख्या कहा जाता है, और हर समाप्त होने वाला दशमलव परिमेय होता है।
0.333... जैसी आवर्ती दशमलव (जो ठीक 1/3 के बराबर है) भी परिमेय संख्याएं दर्शाती हैं, लेकिन उनके लिए अलग बीजगणितीय विधि चाहिए और उन्हें सीमित दशमलव के रूप में बिल्कुल दर्ज नहीं किया जा सकता। 0.333333 दर्ज करने पर वह ठीक छह अंकों वाला दशमलव (333333/1000000) बदलता है, 1/3 नहीं। यह कैलकुलेटर नौ दशमलव स्थानों तक के समाप्त होने वाले दशमलव संभाल सकता है।
इस दशमलव से भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- जिस दशमलव मूल्य को बदलना है उसे दर्ज करें, उदाहरण के लिए 0.625 या 2.5। ऋणात्मक दशमलव भी समर्थित हैं।
- सरलीकृत भिन्न पढ़ें। ऋणात्मक इनपुट के लिए चिह्न अंश पर रखा जाता है।
- प्रतिशत तुल्यांक पढ़ें, जो दशमलव को 100 से गुणा करके मिलता है।
- हाथ से जांचने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को दस की मिलती-जुलती घात के ऊपर लिखें और दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
स्थानीय-मान रूपांतरण विधि
दशमलव बिंदु के बाद के अंक गिनें (गिनती को k कहें)। दशमलव को 10^k से गुणा करके पूर्णांक अंश पाएं, और 10^k को हर के रूप में उपयोग करें। फिर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सबसे सरल रूप में लाएं।
उदाहरण: 0.625। इसमें k = 3 दशमलव स्थान हैं, इसलिए 0.625 = 625/1000। 625 और 1000 का GCD 125 है। दोनों को भाग देने पर: 625/125 = 5 और 1000/125 = 8, इसलिए 0.625 = 5/8। प्रतिशत के रूप में, 0.625 x 100 = 62.5%।
दूसरा उदाहरण: 0.32 = 32/100। 32 और 100 का GCD 4 है, इसलिए 0.32 = 8/25 = 32%।
1 से बड़े दशमलव भी उसी तरह बदलते हैं: 2.5 = 25/10 = 5/2, जिसे मिश्र संख्या 2 1/2 के रूप में भी लिखा जा सकता है।
आम गलतियां
- यह उम्मीद करना कि 0.33 या 0.333333, 1/3 में बदलेगा — केवल अनंत आवर्ती दशमलव 0.333..., 1/3 के बराबर है; कोई भी सीमित प्रविष्टि एक अलग, सटीक भिन्न में बदलती है।
- दस की गलत घात इस्तेमाल करना: 0.625, 625/1000 है (तीन स्थान), 625/100 नहीं।
- सरल करना भूल जाना: 625/1000 और 5/8 बराबर हैं, लेकिन परंपरागत उत्तर सबसे सरल रूप में होता है।
- ऋणात्मक दशमलव पर चिह्न छोड़ देना — ऋणात्मक चिह्न परिणामी भिन्न के अंश का हिस्सा होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?
दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को अंश के रूप में लिखें, हर के रूप में दस की उतनी घात लें जितने दशमलव स्थान हों, फिर महत्तम समापवर्तक से सरल करें। उदाहरण के लिए, 0.625 = 625/1000; 625 और 1000 का GCD 125 है, इसलिए 0.625 = 5/8।
0.625 भिन्न के रूप में क्या है?
0.625 का मान 5/8 है। रूपांतरण: 0.625 में तीन दशमलव स्थान हैं, इसलिए यह 625/1000 के बराबर है। अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक, 125, से भाग देने पर 5/8 मिलता है। प्रतिशत के रूप में, 0.625 यानी 62.5% है।
क्या हर दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है?
हर समाप्त होने वाला दशमलव और हर आवर्ती दशमलव पूर्णांकों की भिन्न के रूप में बिल्कुल लिखा जा सकता है — ये परिमेय संख्याएं हैं। पाई (3.14159...) और 2 के वर्गमूल जैसी अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार न तो समाप्त होते हैं न आवर्ती होते हैं, और इन्हें किसी भी पूर्णांकों की भिन्न के रूप में बिल्कुल नहीं लिखा जा सकता।
0.333... जैसी आवर्ती दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?
स्थानीय-मान की जगह बीजगणित का उपयोग करें। मान लें x = 0.333...; 10 से गुणा करने पर 10x = 3.333... मिलता है; पहले समीकरण को दूसरे में से घटाने पर 9x = 3 मिलता है, इसलिए x = 3/9 = 1/3। 0.333333 जैसी सीमित प्रविष्टि एक अलग संख्या है और इसके बजाय 333333/1000000 में बदलती है।
1 से बड़े दशमलव को कैसे बदलें?
वही स्थानीय-मान विधि लागू होती है। उदाहरण के लिए, 2.5 = 25/10, जो GCD 5 से भाग देने पर 5/2 बनता है। अनुचित भिन्न 5/2 को मिश्र संख्या 2 1/2 के रूप में भी लिखा जा सकता है; दोनों एक ही मान दर्शाते हैं।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.