Referenztabelle zur Basisumrechnung
Die Tabelle zeigt dieselben Werte in den vier Basen geschrieben. Beachten Sie, wie eine Hexadezimalziffer vier Binärziffern und eine Oktalziffer drei Binärziffern entspricht.
| Dezimal | Binär | Oktal | Hexadezimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
- Dieser Rechner verarbeitet nichtnegative ganze Zahlen bis zur Grenze der sicheren Ganzzahlen der IEEE-754-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit (2⁵³ − 1 = 9.007.199.254.740.991); größere Eingaben werden zurückgewiesen statt stillschweigend gerundet.
- Gebrochene Werte und negative Zahlen (Zweierkomplementdarstellung) liegen außerhalb des Umfangs dieses Umrechners.
Was ist das binäre Zahlensystem?
Binär ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2: Jede Zahl wird ausschließlich mit den Ziffern 0 und 1 geschrieben, wobei jede Stelle für eine Zweierpotenz steht. Liest man die Binärzahl 1010 von rechts, stehen die Ziffern für 0×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8 = 10 im Dezimalsystem. Digitale Elektronik speichert und verarbeitet Informationen binär, da sich ein Schaltungselement mit zwei Zuständen (ein/aus) unmittelbar auf eine Binärziffer, also ein Bit, abbilden lässt.
Hexadezimal (Basis 16) und Oktal (Basis 8) sind kompakte Begleiter des Binärsystems. Da 16 = 2⁴ gilt, steht eine Hexadezimalziffer für genau vier Binärziffern, und da 8 = 2³ gilt, steht eine Oktalziffer für genau drei. Hexadezimal verwendet die Ziffern 0–9 sowie die Buchstaben A–F für die Werte zehn bis fünfzehn; die Dezimalzahl 255 lautet binär 11111111, hexadezimal FF und oktal 377.
Alle Stellenwertsysteme folgen derselben Regel: Eine als Ziffernfolge dₙ…d₁d₀ zur Basis b geschriebene Zahl ergibt sich, indem jede Ziffer mit b hoch ihrer Stelle multipliziert und alles summiert wird. Die Umrechnung zwischen Basen ist daher eine rein notationelle Operation — werten Sie die Ziffern gegen die Ausgangsbasis aus, um den Wert zu erhalten, und teilen Sie diesen wiederholt durch die Zielbasis, um ihn auszuschreiben.
So verwenden Sie diesen Binärrechner
- Geben Sie die Zahl ein, die Sie umrechnen möchten (bis zu 64 Stellen; Präfixe wie 0b, 0x oder 0o werden akzeptiert und ignoriert).
- Wählen Sie die Basis, in der die Zahl geschrieben ist — binär, dezimal, hexadezimal oder oktal.
- Lesen Sie den Dezimalwert sowie die entsprechenden binären, hexadezimalen und oktalen Darstellungen ab.
- Es werden nur Ziffern akzeptiert, die in der gewählten Basis gültig sind; die Ziffer 8 ist beispielsweise in einer Oktaleingabe ungültig.
Die Mathematik hinter der Basisumrechnung
Zur Umrechnung ins Dezimalsystem multiplizieren Sie jede Ziffer mit ihrer Basis hoch der Stelle der Ziffer (von rechts bei 0 beginnend) und summieren. Zur Umrechnung aus dem Dezimalsystem teilen Sie wiederholt durch die Zielbasis und lesen die Reste in umgekehrter Reihenfolge.
Rechenbeispiel: 1010 binär entspricht 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 2 = 10 dezimal. Die 10 in anderen Basen geschrieben: 10 ÷ 16 = 0 Rest 10 → A hexadezimal; 10 ÷ 8 = 1 Rest 2 → 12 oktal.
Häufige Fehler
- Die 10 in einer anderen Basis als 'zehn' zu lesen — 10 bezeichnet in jedem Stellenwertsystem die Basis selbst (10₂ = 2, 10₈ = 8, 10₁₆ = 16).
- Ziffern zu verwenden, die es in der gewählten Basis nicht gibt, etwa 8 oder 9 im Oktalsystem oder Buchstaben jenseits von F im Hexadezimalsystem.
- Bitgruppengrößen zu verwechseln: Eine Hexziffer umfasst vier Bit, eine Oktalziffer drei Bit, daher führt eine falsche Gruppierung der Binärziffern zu einer fehlerhaften Umrechnung.
- Zu vergessen, dass führende Nullen nichts ändern: 0010₂ und 10₂ sind beide 2 im Dezimalsystem.
Häufig gestellte Fragen
Wie rechne ich Binär in Dezimal von Hand um?
Multiplizieren Sie jede Binärziffer mit der Zweierpotenz ihrer Stelle, von 0 an der äußersten rechten Ziffer gezählt, und addieren Sie die Ergebnisse. Für 1101: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13. Von rechts nach links gelesen lauten die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32 und so weiter.
Wie rechne ich Dezimal in Binär um?
Teilen Sie die Zahl wiederholt durch 2 und notieren Sie jeden Rest. Das binäre Ergebnis sind die Reste in umgekehrter Reihenfolge gelesen. Für 13: 13÷2 = 6 Rest 1, 6÷2 = 3 Rest 0, 3÷2 = 1 Rest 1, 1÷2 = 0 Rest 1 — von unten nach oben gelesen ergibt das 1101.
Warum verwenden Computer das Binärsystem?
Digitale Schaltungen unterscheiden zwei Spannungszustände zuverlässig, und jeder Zustand bildet sich auf eine Binärziffer (Bit) ab. Hardware um zwei Zustände herum zu bauen macht Speicherung und Logik einfach und störungstolerant, daher stellen alle gängigen Prozessoren und Speicher Daten auf physikalischer Ebene binär dar, welche Notation Programmierer darüber auch verwenden.
Wofür wird Hexadezimal verwendet?
Hexadezimal ist eine kompakte Schreibweise für Binärzahlen: Eine Hexziffer kodiert genau vier Bit, ein Byte besteht also stets aus zwei Hexziffern (00–FF). Es ist die übliche Notation für Speicheradressen, Farbcodes (etwa #FF6600), MAC-Adressen und Rohdaten-Dumps, da sie weitaus kürzer als Binär ist und sich ziffernweise in Binär überführen lässt.
Welche größte Zahl akzeptiert dieser Rechner?
Eingaben sind auf 64 Stellen und auf Werte bis einschließlich 2⁵³ − 1 = 9.007.199.254.740.991 begrenzt, die größte ganze Zahl, die IEEE-754-Gleitkomma mit doppelter Genauigkeit exakt darstellen kann. Jenseits dieser Grenze verlieren gewöhnliche JavaScript-Zahlen ihre Ganzzahlgenauigkeit, daher weist der Rechner die Eingabe zurück, statt ein gerundetes Ergebnis zu liefern.
Quellenangaben
- Knuth DE. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edition, Addison-Wesley, 1997 — positional number systems and radix conversion.
- IEEE Std 754-2019. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic — double-precision format and exact-integer range.