ggT und kgV im Zusammenspiel verstehen
ggT und kgV stehen an den beiden Enden eines verwandten Fragenpaars: Der ggT sucht den größten gemeinsamen Teiler, das kgV hingegen das kleinste gemeinsame Vielfache.
| Zahlen | ggT | kgV | Typische Verwendung |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | Kürzen des Bruchs 12/18 auf 2/3; Bestimmen eines gemeinsamen Nenners |
| 4, 6 | 2 | 12 | Bestimmen, wann zwei wiederkehrende Zyklen der Länge 4 und 6 wieder zusammenfallen |
| 7, 13 | 1 (teilerfremd) | 91 | Zahlen ohne gemeinsamen Teiler außer 1 haben ein kgV, das ihrem Produkt entspricht |
- Besitzen zwei Zahlen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, so heißen sie teilerfremd; ihr ggT ist 1 und ihr kgV entspricht dem Produkt der beiden Zahlen.
- Der ggT dient dazu, einen Bruch vollständig zu kürzen, indem Zähler und Nenner durch ihn geteilt werden. Das kgV liefert den kleinsten gemeinsamen Nenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern.
- Dieser Rechner behandelt alle eingegebenen Zahlen als positive ganze Zahlen; Dezimal- oder negative Eingaben werden vor der Berechnung in ihre gerundeten, absoluten ganzzahligen Entsprechungen umgewandelt.
Was sind ggT und kgV?
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) einer Menge ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die jede von ihnen ohne Rest teilt. So ist etwa der ggT von 12, 18 und 24 gleich 6, da 6 alle drei Zahlen ohne Rest teilt (12÷6=2, 18÷6=3, 24÷6=4) und keine größere Zahl dies leistet. Im Englischen wird der ggT auch als greatest common divisor (GCD) bezeichnet.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) einer Menge ganzer Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die von jeder dieser Zahlen ohne Rest geteilt wird. Das kgV von 12, 18 und 24 ist 72, da 72 die kleinste Zahl ist, die ein Vielfaches aller drei darstellt (72÷12=6, 72÷18=4, 72÷24=3).
ggT und kgV werden häufig gemeinsam eingesetzt: Der ggT kürzt Brüche vollständig und bestimmt die größtmöglichen gleich großen Gruppen aus verschiedenen Mengen, während das kgV einen gemeinsamen Nenner zum Addieren oder Vergleichen von Brüchen liefert und angibt, wann sich wiederkehrende Ereignisse (etwa zwei unterschiedlich getaktete Zyklen) das nächste Mal treffen.
So verwenden Sie diesen ggT- und kgV-Rechner
- Geben Sie zwei oder mehr positive ganze Zahlen ein, durch ; getrennt (etwa 12; 18; 24).
- Der Rechner ermittelt den ggT mithilfe des euklidischen Algorithmus, der paarweise auf alle eingegebenen Zahlen angewandt wird.
- Das kgV wird aus dem ggT über die Identität kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b) berechnet und paarweise auf die gesamte Liste ausgeweitet.
- Lesen Sie den ggT, das kgV und — sofern der ggT mindestens 2 beträgt — dessen Primfaktorzerlegung ab.
Der euklidische Algorithmus und der Zusammenhang von ggT und kgV
Der ggT wird mit dem euklidischen Algorithmus berechnet, einem der ältesten Algorithmen der Mathematik (beschrieben in Euklids Elementen, Buch VII, um 300 v. Chr.). Er ersetzt wiederholt die größere zweier Zahlen durch den Rest der Division der größeren durch die kleinere, bis der Rest 0 beträgt — der letzte von null verschiedene Wert ist der ggT. Rechenbeispiel: ggT(12, 18): 18 = 1×12 + 6, danach 12 = 2×6 + 0, also ggT(12, 18) = 6. Anschließend ggT(6, 24): 24 = 4×6 + 0, also ggT(6, 24) = 6, woraus ggT(12, 18, 24) = 6 folgt.
Bei mehr als zwei Zahlen ergibt sich der ggT durch wiederholte Anwendung des Verfahrens für zwei Zahlen: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).
Das kgV zweier Zahlen hängt über die Identität kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b) unmittelbar mit ihrem ggT zusammen — dies gilt, da das Produkt zweier Zahlen stets dem Produkt aus ihrem ggT und ihrem kgV entspricht. Rechenbeispiel: kgV(12, 18) = (12 × 18) ÷ ggT(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36. Erweitert um eine dritte Zahl: kgV(36, 24) = (36 × 24) ÷ ggT(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72, woraus kgV(12, 18, 24) = 72 folgt.
Häufige Fehler
- ggT und kgV verwechseln — der ggT ist stets kleiner oder gleich der kleinsten eingegebenen Zahl, während das kgV stets größer oder gleich der größten eingegebenen Zahl ist.
- Annehmen, es gelte immer kgV(a, b) = a × b — diese Abkürzung trifft nur zu, wenn a und b teilerfremd sind (ggT = 1); andernfalls gilt kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b).
- ggT oder kgV für eine einzige Zahl bestimmen wollen — beide Begriffe setzen den Vergleich von mindestens zwei Zahlen voraus, da ggT und kgV einer Zahl mit sich selbst trivialerweise die Zahl selbst ergeben.
- Vergessen, dass ggT und kgV für positive ganze Zahlen definiert sind und nicht für Brüche oder Dezimalzahlen — nicht ganzzahlige Eingaben müssen vor der Anwendung dieser Formeln gedeutet oder umgewandelt werden.
Häufig gestellte Fragen
Wie bestimmt man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zahlen?
Am effizientesten ist der euklidische Algorithmus: Man ersetzt die größere Zahl wiederholt durch den Rest ihrer Division durch die kleinere, bis der Rest 0 erreicht — der letzte von null verschiedene Rest ist der ggT. Für 12 und 18 gilt: 18 mod 12 = 6, danach 12 mod 6 = 0, also ggT(12, 18) = 6.
Wie bestimmt man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von Zahlen?
Zunächst bestimmt man den ggT und wendet dann kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b) an. Für 12 und 18 ist ggT = 6, also kgV = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Bei mehr als zwei Zahlen wendet man die Formel paarweise an und verbindet das laufende kgV mit jeder weiteren Zahl.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen ggT und kgV?
Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b entspricht das Produkt aus ihrem ggT und ihrem kgV stets dem Produkt der Zahlen selbst: ggT(a, b) × kgV(a, b) = a × b. Diese Identität erlaubt es, das kgV nach Bestimmung des ggT rasch zu berechnen, ohne Vielfache auflisten zu müssen.
Was bedeutet es, dass zwei Zahlen teilerfremd sind?
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer positiver Teiler 1 ist, ihr ggT also 1 beträgt. Teilerfremde Zahlen müssen selbst keine Primzahlen sein; so sind etwa 8 und 9 teilerfremd (ggT = 1), obwohl keine von beiden eine Primzahl ist. Sind zwei Zahlen teilerfremd, so entspricht ihr kgV ihrem Produkt.
Wie kürzt man Brüche mithilfe des ggT?
Man teilt Zähler und Nenner eines Bruchs durch ihren ggT, um ihn vollständig zu kürzen. Für 12/18 beträgt der ggT von 12 und 18 gleich 6, daher gilt 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3, was sich nicht weiter kürzen lässt, da ggT(2, 3) = 1 ist.
Quellenangaben
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.