Iterierte Quersummen und die Teilbarkeit durch 9 verstehen
Die iterierte Quersumme einer Zahl verrät ihren Rest bei Division durch 9 und liefert damit eine schnelle Kopfrechenprobe auf Teilbarkeit durch 3 und 9.
| Iterierte Quersumme | Bezug zur Teilbarkeit |
|---|---|
| 9 | Die Zahl ist ohne Rest durch 9 teilbar (und damit auch durch 3) |
| 3 oder 6 | Die Zahl ist durch 3, jedoch nicht durch 9 teilbar |
| 1, 2, 4, 5, 7 oder 8 | Die Zahl ist nicht durch 3 teilbar |
| 0 | Nur die Zahl 0 selbst besitzt die iterierte Quersumme 0 |
- Die Formel der iterierten Quersumme und ihre Verwendung als Neunerprobe sind älter als moderne Rechner und dienten Buchhaltern wie Lernenden historisch dazu, Übertragungs- und Additionsfehler von Hand aufzuspüren.
- Die iterierte Quersumme darf nicht mit der einfachen Quersumme verwechselt werden: Die Quersumme von 9875 beträgt 29 (ein einziger Additionsdurchgang), während die iterierte Quersumme 2 lautet, also die nach wiederholter Addition vollständig reduzierte Einzelziffer.
- Dieser Rechner behandelt die Eingabe als nichtnegative ganze Zahl; die Ziffern einer Dezimalzahl oder einer negativen Zahl müssten vor Anwendung dieser Definition neu gedeutet werden.
Was ist eine iterierte Quersumme?
Die iterierte Quersumme einer ganzen Zahl erhält man, indem man alle ihre Ziffern addiert und, falls das Ergebnis mehr als eine Ziffer besitzt, dessen Ziffern erneut addiert — dieser Vorgang wird wiederholt, bis eine einzelne Ziffer von 0 bis 9 übrig bleibt. So ergibt sich die iterierte Quersumme von 9875, indem man zunächst 9+8+7+5=29 bildet, anschließend 2+9=11 und schließlich 1+1=2, was als Endergebnis 2 liefert.
Dieses Verfahren der wiederholten Quersumme wird auch Neunerprobe genannt, eine historisch verbreitete Methode zur stichprobenartigen Prüfung von Handrechnungen: Da die iterierte Quersumme einer Zahl mathematisch der Zahl modulo 9 entspricht (mit 9 anstelle von 0), liegt irgendwo in der Rechnung ein Fehler vor, wenn das Ergebnis einer Addition, Subtraktion oder Multiplikation eine iterierte Quersumme aufweist, die nicht zur erwarteten Quersummenarithmetik passt.
Iterierte Quersummen besitzen unterhaltsame und didaktische Anwendungen — sie treten in der Numerologie auf (wobei solche Verwendungen über die Arithmetik hinaus keinerlei mathematische Bedeutung haben), dienen einfachen Teilbarkeitsprüfungen (eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre iterierte Quersumme 9 beträgt) und bieten Lernenden einen leicht zugänglichen Einstieg in modulare Arithmetik und Zahlentheorie.
So verwenden Sie diesen Rechner für die iterierte Quersumme
- Geben Sie eine nichtnegative ganze Zahl ein.
- Der Rechner addiert alle ihre Ziffern und erhält so die erste Quersumme.
- Besitzt diese Summe mehr als eine Ziffer, so wiederholt der Rechner die Quersummenbildung und hält dabei jeden Zwischenschritt fest.
- Lesen Sie die abschließende einstellige iterierte Quersumme ab, dazu die vollständige Folge der Reduktionsschritte sowie die erste Quersumme vor jeder weiteren Reduktion.
Die Formel der iterierten Quersumme und ihr Bezug zu mod 9
Das unmittelbare Verfahren bildet wiederholt Quersummen: Für n = 9875 addiert man zunächst die Ziffern 9+8+7+5 = 29; da 29 mehr als eine Ziffer besitzt, addiert man erneut 2+9 = 11; da 11 weiterhin mehr als eine Ziffer besitzt, addiert man ein weiteres Mal 1+1 = 2. Die iterierte Quersumme lautet 2 und wird in drei Reduktionsschritten erreicht: 9875 → 29 → 11 → 2.
Daneben existiert eine unmittelbare, nicht iterative Kurzformel auf Grundlage der modularen Arithmetik: Die iterierte Quersumme von n beträgt für n > 0 gleich 1 + ((n − 1) mod 9). Rechenbeispiel: Für n = 9875 gilt (9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1 (da 9874 = 1097×9 + 1), womit die iterierte Quersumme 1 + 1 = 2 beträgt — exakt wie beim schrittweisen Verfahren. Die Formel gilt, weil die Quersumme den Rest einer Zahl modulo 9 nicht verändert (da 10 ≡ 1 mod 9 ist und somit auch jede Zehnerpotenz ≡ 1 mod 9).
Als Sonderfall ist die iterierte Quersumme von 0 als 0 definiert, und die iterierte Quersumme jedes positiven Vielfachen von 9 beträgt 9 selbst und nicht 0, da die Verschiebung um +1 in der Formel einen Rest von 0 auf die iterierte Quersumme 9 statt 0 abbildet.
Häufige Fehler
- Nach nur einem Durchgang der Quersummenbildung aufhören — die iterierte Quersumme verlangt, den Vorgang zu wiederholen, bis eine einzelne Ziffer übrig bleibt, und nicht bloß die erste Quersumme zu berechnen.
- Die Quersumme (ein Durchgang) mit der iterierten Quersumme (wiederholte Durchgänge bis auf eine Ziffer) verwechseln — beide Größen hängen zusammen, sind jedoch verschieden, und nur die iterierte Quersumme ist garantiert einstellig.
- Für Vielfache von 9 eine iterierte Quersumme von 0 erwarten — die iterierte Quersumme jedes positiven Vielfachen von 9 (etwa 18, 27 oder 81) beträgt 9 und nicht 0; allein die Zahl 0 selbst besitzt die iterierte Quersumme 0.
- Das Verfahren ohne vorherige Umwandlung auf negative Zahlen oder Dezimalzahlen anwenden — die klassische Definition der iterierten Quersumme gilt für nichtnegative ganze Zahlen.
Häufig gestellte Fragen
Wie bestimmt man die iterierte Quersumme einer Zahl?
Man addiert alle Ziffern der Zahl und addiert, falls das Ergebnis mehr als eine Ziffer besitzt, dessen Ziffern erneut — dies wiederholt man, bis nur eine einzelne Ziffer übrig bleibt. Für 9875 gilt: 9+8+7+5=29, danach 2+9=11 und schließlich 1+1=2. Die iterierte Quersumme von 9875 lautet somit 2.
Wie lautet die Kurzformel für die iterierte Quersumme?
Für jede positive ganze Zahl n beträgt die iterierte Quersumme 1 + ((n − 1) mod 9), womit sich das wiederholte Addieren erübrigt. Für n = 9875 gilt: (9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1, also beträgt die iterierte Quersumme 1 + 1 = 2, übereinstimmend mit dem schrittweisen Verfahren.
Warum hängt die iterierte Quersumme mit mod 9 zusammen?
Da 10 bei Division durch 9 den Rest 1 lässt (10 = 1×9 + 1), lässt auch jede Zehnerpotenz den Rest 1 modulo 9. Weil sich jede ganze Zahl als Summe von Ziffern mal Zehnerpotenzen schreiben lässt, bleibt der Rest modulo 9 erhalten, wenn man die Ziffern unmittelbar addiert und ihren Stellenwert außer Acht lässt. Wiederholt man die Quersummenbildung, so konvergiert sie gegen genau diesen Rest, ausgedrückt als einzelne Ziffer, wobei statt 0 die Ziffer 9 steht.
Wie lassen sich mit iterierten Quersummen Rechnungen prüfen (Neunerprobe)?
Die Neunerprobe prüft eine Rechnung über den Vergleich iterierter Quersummen: Bei der Addition sollte die iterierte Quersumme der Summe der iterierten Quersumme der addierten Quersummen entsprechen; bei der Multiplikation sollte die iterierte Quersumme des Produkts der iterierten Quersumme des Produkts der Quersummen der Faktoren entsprechen. Stimmen die iterierten Quersummen nach dieser Regel nicht überein, so liegt irgendwo ein Rechenfehler vor — allerdings garantiert eine Übereinstimmung noch keine vollständig richtige Lösung, da manche Fehler wie das Vertauschen von Ziffern unentdeckt bleiben.
Welche iterierte Quersumme besitzt ein Vielfaches von 9?
Die iterierte Quersumme jedes positiven Vielfachen von 9 beträgt stets 9 selbst und nicht 0. So gilt etwa 18 → 1+8=9, 81 → 8+1=9 und 999 → 9+9+9=27 → 2+7=9. Dies folgt unmittelbar aus der Kurzformel 1 + ((n−1) mod 9): Ist n ein Vielfaches von 9, so gilt (n−1) mod 9 = 8, womit die iterierte Quersumme 1+8=9 beträgt.
Quellenangaben
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (Congruences and casting out nines.)
- Ore O. Number Theory and Its History. McGraw-Hill, 1948 (Dover reprint, 1988). (Historical treatment of digit sums and divisibility checks.)
- Weisstein EW. 'Digital Root' and 'Casting Out Nines.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.