❗ Fakultätsrechner

Verstehen, wie schnell Fakultäten wachsen

Das Wachstum der Fakultät übertrifft rasch jedes exponentielle Wachstum, wie die folgende Tabelle exakter und näherungsweiser Werte zeigt.

• 18! (≈6,40 × 10¹⁵) ist die größte Fakultät unterhalb der Grenze sicherer ganzer Zahlen, da Number.MAX_SAFE_INTEGER in JavaScript 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵ beträgt; dieser Rechner gibt daher nur bis n = 18 einen exakten Wert aus. Jenseits dieser Grenze bleiben Fakultäten bis 22! weiterhin exakt als Gleitkommazahl doppelter Genauigkeit darstellbar, weil jede von ihnen viele Faktoren zwei enthält; 23! ist die erste, die gerundet wird.
• Für n von 19 bis 170 wird ausschließlich die Näherung in wissenschaftlicher Schreibweise (sowie ln(n!)) ausgegeben, da der exakte ganzzahlige Wert mehr Genauigkeit erforderte, als die übliche Gleitkommaarithmetik ohne eine Bibliothek für große ganze Zahlen bietet.
• Oberhalb von n = 170 übersteigt n! den größten mit üblichen Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit darstellbaren Wert (rund 1,8 × 10³⁰⁸) und läuft zu unendlich über; dieser Rechner begrenzt n daher auf 170.

Was ist eine Fakultät?

Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist definiert als das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. So gilt etwa 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Definition ist 0! = 1 (ein leeres Produkt, also das neutrale Element der Multiplikation), was in der Kombinatorik durchgängig als Konvention gilt.

Fakultäten wachsen außerordentlich schnell — weit schneller als Exponentialfunktionen von n. So ist 10! = 3.628.800, während 20! bereits 2,4 Trillionen übersteigt (2,43 × 10¹⁸) und damit größer ist als die Anzahl der Sekunden seit dem Urknall. Wegen dieses explosionsartigen Wachstums werden Fakultäten für größere n üblicherweise in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben, und exakte ganzzahlige Werte lassen sich ab einem gewissen Punkt nicht mehr sinnvoll darstellen.

Fakultäten sind die Grundlage der Kombinatorik: Sie zählen, auf wie viele Arten sich n unterscheidbare Objekte anordnen lassen (Permutationen), und sie treten als Nenner in der Formel des Binomialkoeffizienten auf, mit dem ungeordnete Auswahlen (Kombinationen) gezählt werden. Ebenso erscheinen sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in der Analysis (Koeffizienten von Taylorreihen) und in zahlreichen geschlossenen kombinatorischen Identitäten.

So verwenden Sie diesen Fakultätsrechner

1. Geben Sie eine ganze Zahl n zwischen 0 und 170 ein (170! liegt nahe an der größten Fakultät, die sich mit üblichen Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit darstellen lässt, bevor ein Überlauf zu unendlich eintritt).
2. Lesen Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise ab, das unabhängig von der Größe von n stets ausgegeben wird.
3. Für n ≤ 18 wird zusätzlich der exakte ganzzahlige Wert von n! angezeigt, da größere Fakultäten den Bereich exakt darstellbarer ganzer Zahlen in der Arithmetik doppelter Genauigkeit überschreiten (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. Betrachten Sie den natürlichen Logarithmus von n! (nützlich beim Rechnen mit sehr großen Fakultäten ohne Überlauf) sowie die Anzahl der Endnullen in der exakten Dezimaldarstellung von n!.

So werden Fakultäten, Endnullen und ln(n!) berechnet

Die definierende rekursive Beziehung lautet n! = n × (n − 1)! mit dem Basisfall 0! = 1. Rechenbeispiel: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Für große n wird der natürliche Logarithmus ln(n!) als Summe Σ ln(k) für k = 2 bis n berechnet, wodurch der Überlauf vermieden wird, der beim direkten Ausmultiplizieren der Fakultät entstünde. Die wissenschaftliche Schreibweise ergibt sich anschließend über den Zehnerlogarithmus: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), wobei der ganzzahlige Anteil den Exponenten liefert und der gebrochene Anteil, mit 10^x zurückgerechnet, die Mantisse.

Die Anzahl der Endnullen in n! entspricht der Häufigkeit, mit der 10 die Zahl n! ohne Rest teilt; da 10 = 2 × 5 gilt und Faktoren 2 in einer Fakultät stets häufiger auftreten als Faktoren 5, läuft dies auf das Zählen der Faktoren 5 nach der legendreschen Formel hinaus: Endnullen = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... Rechenbeispiel für 10!: ⌊10/5⌋ = 2 und ⌊10/25⌋ = 0, also besitzt 10! zwei Endnullen — bestätigt durch 10! = 3.628.800.

Häufige Fehler

• Vergessen, dass 0! = 1 und nicht 0 ist — dies ist eine übliche mathematische Konvention (ein leeres Produkt ergibt 1) und unerlässlich, damit kombinatorische Formeln in ihren Randfällen korrekt funktionieren.
• Annehmen, Fakultäten ließen sich für beliebig große n in üblicher Arithmetik exakt berechnen — oberhalb von n = 22 überschreiten exakte ganzzahlige Werte das, was Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit ohne Rundung darstellen können.
• n! (Fakultät) mit nⁿ (n hoch n) verwechseln — die Fakultät multipliziert eine absteigende Folge ganzer Zahlen bis 1, während die Potenz n n-mal mit sich selbst multipliziert; beide wachsen unterschiedlich schnell und laufen rasch auseinander (5! = 120 gegenüber 5⁵ = 3125).
• Eine negative oder nicht ganzzahlige Zahl eingeben — in diesem elementaren Sinne ist die Fakultät ausschließlich für nichtnegative ganze Zahlen definiert (die Gammafunktion erweitert den Begriff auf nicht ganzzahlige Argumente, was jedoch eine eigene, weiterführende Formel darstellt).

Häufig gestellte Fragen

Quellenangaben

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)