应该用哪种均值？
每种均值回答的问题不同。下表总结了各自适用的场景。
| 均值 | 适用于以何种方式组合的数值 | 常见应用 |
|---|---|---|
| 算术平均 | 相加 | 考试分数、身高、温度、一般性平均 |
| 几何平均 | 相乘 | 增长率、投资回报率、比率、指数 |
| 调和平均 | 取倒数（比率） | 等距离的平均速度、市盈率、并联电阻 |
- 几何平均和调和平均只对全部为正的数值有定义。当列表中含有 0 或负数时，本计算器会省略这两项。
- 对任意全为正数的数据集，算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均，仅当所有数值相等时才取等号（即算术—几何—调和不等式）。
- 用算术平均来平均百分比增长率会高估累计增长；对增长因子求几何平均，才能得到正确的等效恒定增长率。
什么是算术平均、几何平均和调和平均？
算术平均是数值之和除以其个数，适用于以「相加」方式组合的量，例如身高、考试分数或温度，也是大多数人口中所说的「平均数」。
几何平均是 n 个正数之积的 n 次方根，适用于以「相乘」方式组合的量，例如增长率和比率：把逐年的增长因子求几何平均，得到的是能产生相同总体增长的恒定增长率。它只对全部为正的数据有定义，因为一旦出现 0，乘积就会变为 0，而负数则可能使这个根不是实数。
调和平均是个数除以各数值倒数之和，适用于分子固定的比率问题，最经典的例子就是等距离的平均速度。和几何平均一样，它也要求所有数值都为正。对任意全为正数的数据集，这三种平均满足不等式：算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均，仅当所有数值相同时才取等号。
如何使用这个均值计算器
- 用分号分隔输入你的数字，例如：4; 8; 15; 16; 23; 42。
- 查看算术平均，它总会显示。
- 如果所有数值都是正数，还可以查看几何平均和调和平均；当列表中含有 0 或负数时，这两个均值没有定义，因此会被省略。
- 根据你的问题选择合适的均值：加性量用算术平均，增长率和比率用几何平均，等距离速度等比率问题用调和平均。
三种均值的公式
算术平均：把 n 个数值相加后除以 n。几何平均：把 n 个数值相乘后取 n 次方根（实际计算中通常用对数均值的指数来求得）。调和平均：用 n 除以各数值倒数之和。
以数值 1、4、16 为例做演示。算术平均：(1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7。几何平均：乘积为 1 × 4 × 16 = 64，64 的立方根是 4。调和平均：3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21，约等于 2.285714。注意 7 ≥ 4 ≥ 2.285714，正好体现了算术—几何—调和不等式。
调和平均的速度示例：以 30 km/h 行驶一段距离，再以 60 km/h 行驶同样的距离，平均速度是 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h，而不是算术平均的 45 km/h，因为在较慢速度上花费的时间更长。
常见错误
- 用算术平均来处理增长率：某年增长 +50%，次年下降 -50%，算术平均是 0%，但实际投资总体下跌了 25%；对因子 1.5 和 0.5 求几何平均（约 0.866）才能反映真实的平均变化。
- 对等距离的速度用算术平均求平均——等距离的场景应该用调和平均。
- 把几何平均或调和平均用在含有 0 或负数的数据上，而这两种均值在这些情况下没有定义。
- 以为三种均值应该相等——它们只有在列表中所有数值都相同时才会重合。
常见问题
算术平均和几何平均有什么区别？
算术平均是把数值相加后除以个数；几何平均是把数值相乘后取 n 次方根。算术平均适合以相加方式组合的量，几何平均适合以相乘方式组合的量，例如增长因子。对于 1、4、16 这三个数，算术平均是 7，几何平均是 4。
什么时候应该用调和平均？
当分子固定时，用调和平均来求比率的平均值——最经典的例子是等距离的平均速度。以 30 km/h 和 60 km/h 分别行驶相同的距离，平均速度是 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h，而不是 45 km/h，因为在较慢速度上花费的时间更多。调和平均也常用于市盈率的平均和并联电阻的合成计算。
为什么这个计算器有时只显示算术平均？
只有当列表中每个数值都是正数时，几何平均和调和平均才有定义。0 会让几何平均变为 0，也会让调和平均因除以零而无定义，负数则可能使乘积的 n 次方根不是实数。当列表中含有 0 或负数时，本计算器只会给出算术平均。
为什么几何平均适合用来衡量投资回报？
投资回报是以乘法方式复利累积的。如果一个投资组合连续两年的增长因子分别是 1.5（上涨 50%）和 0.5（下跌 50%），总体因子是 1.5 × 0.5 = 0.75。这两个因子的几何平均是 √0.75，约等于 0.866，正是能产生相同结果的恒定年增长因子——相当于每年平均亏损约 13.4%，而算术平均给出的 0% 完全掩盖了这一点。
算术平均是不是三者中总是最大的那个？
对于全部为正数的数据集，是的：算术平均总是大于等于几何平均，几何平均又大于等于调和平均，只有当所有数值相同时才会相等。这就是经典代数中的算术—几何—调和不等式。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).