如何理解中位数、众数和极差
每个统计量描述的是数据的不同方面。下表总结了各自反映的信息。
| 统计量 | 反映的内容 | 对异常值的敏感程度 |
|---|---|---|
| 中位数 | 有序数据的中间位置；50% 的数值小于等于它 | 低——只取决于数值的排列顺序 |
| 众数 | 出现次数最多的一个或多个值；分布的峰值 | 低——不受极端值影响 |
| 极差 | 从最小值到最大值的总跨度 | 高——完全由两个极端值决定 |
- 当均值明显大于中位数时，数据通常呈右偏态（存在一条大值的长尾，如收入数据）；均值低于中位数则提示左偏态。
- 一组数据可以没有众数（所有值都不同）、有一个众数，也可以有多个众数；本计算器会列出所有并列出现次数最高的值。
- 样本的中位数是对总体中位数的估计；和所有样本统计量一样，它也会受到抽样误差的影响。
什么是中位数、众数和极差？
中位数是把一组有序数据一分为二的值。求法是先把数值从小到大排序：数据个数为奇数时，中位数就是正中间的那个值；个数为偶数时，中位数是中间两个值的算术平均。因为中位数只取决于数据的排列顺序，而不取决于极端值的大小，所以它对异常值有很强的抵抗力。
众数是数据中出现次数最多的一个值（或多个值）。一组数据可以有一个众数、多个众数（例如有两个峰值的双峰数据），也可以完全没有众数——当每个值都只出现一次时就是这种情况。众数是唯一一个也能用于分类数据的集中趋势度量。
极差是最大值与最小值之差，是最简单的离散程度度量，但由于它只用到两个最极端的观测值，因此对异常值非常敏感；标准差或四分位距能更稳健地描述离散程度。
如何使用这个中位数计算器
- 用分号分隔输入你的数字，例如：7; 12; 3; 9; 21; 14。计算器会自动为你排序。
- 查看中位数。当数据个数为偶数时，它是排序列表中中间两个值的平均。
- 查看众数：出现次数最多的一个或多个值。如果没有任何值重复出现，会显示一个短横线，表示数据没有众数。
- 查看极差，即最大值减最小值——它能快速反映数据的离散程度。
中位数、众数和极差是如何计算的
中位数：把 n 个数值排序。若 n 为奇数，中位数是排在第 (n + 1) / 2 位的值。若 n 为偶数，中位数是排在第 n/2 位和第 n/2 + 1 位的两个值的平均。
演示：数值为 7、12、3、9、21、14。排序后：3、7、9、12、14、21。共有 n = 6 个值（偶数），所以中位数是第 3 位和第 4 位的平均：(9 + 12) / 2 = 10.5。没有值重复出现，因此没有众数。极差是 21 − 3 = 18。
第二个例子（含众数）：2、4、4、7、9。排序后中间（第 3 位）的值是 4，所以中位数是 4。数值 4 出现了两次，而其他值都只出现一次，所以众数是 4。极差是 9 − 2 = 7。
常见错误
- 在寻找中间值之前忘记先排序——中位数是针对有序列表定义的。
- 当数据个数为偶数时，只取中间两个值中的一个而不是取它们的平均：对于 3、7、9、12、14、21，中位数是 10.5，而不是 9 或 12。
- 以为每组数据都一定有众数——当没有任何值重复出现时，众数是不存在的。
- 把极差当作一种稳健的离散程度度量；它只取决于两个最极端的值，忽略了两者之间的所有数据。
常见问题
怎样求一组数据的中位数？
把数值从小到大排序。如果个数是奇数，中位数就是中间的那个值。如果个数是偶数，中位数是中间两个值的平均。例如，对于 7、12、3、9、21、14，排序后是 3、7、9、12、14、21，中位数是 (9 + 12) / 2 = 10.5。
什么时候中位数比均值更合适？
当数据存在偏态或异常值时。中位数只取决于数值的排列顺序，因此单个极端观测值几乎不会影响它，而均值却可能因此大幅偏移。正因如此，收入和房价通常用中位数来概括。
一组数据可以有不止一个众数吗？
可以。如果有两个或更多的值并列拥有最高的出现频次，这组数据就是多峰的，所有并列的值都是众数。例如，在 1、2、2、5、7、7、9 中，2 和 7 都出现了两次，所以数据是双峰的，众数是 2 和 7。如果没有任何值重复出现，这组数据就没有众数。
极差能告诉我什么？
极差是最大值减最小值，即数据的总跨度。它计算简便、容易理解，但只用到两个最极端的值，因此一个异常值就可能让它大幅膨胀。要更全面地了解离散程度，应使用标准差或四分位距。
中位数一定是数据中实际存在的某个值吗？
不一定。当数据个数为奇数时，中位数是其中一个实际观测值。当个数为偶数时，中位数是中间两个值的平均，这个数值可能并未出现在数据中——例如，列表 3、7、9、12、14、21 的中位数 10.5 并不是这六个观测值中的任何一个。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.