如何理解你的标准差
对于近似正态（钟形）分布的数据，经验法则描述了有多少比例的数据落在均值的若干个标准差范围内。
| 以均值为中心的区间 | 数据大致所占比例（正态分布） |
|---|---|
| 1 个标准差以内 | 约 68% |
| 2 个标准差以内 | 约 95% |
| 3 个标准差以内 | 约 99.7% |
- 68-95-99.7 经验法则适用于近似正态分布；严重偏态或重尾的数据可能与这些比例有较大偏差。
- 当数据是用来推断更大总体的样本时，使用样本形式（n − 1）；只有当数据集就是你所关心的完整总体时，才使用总体形式（n）。
- 标准差对异常值很敏感，因为离差被平方了；一个极端值就可能显著抬高它。
- 本计算器要求至少输入两个数值，因为单一观测值无法估计离散程度。
什么是标准差？
标准差量化的是数据值与其均值之间的典型距离。标准差小，说明数值紧密聚集在均值附近；标准差大，说明数值分布得很分散。它与原始数据的单位相同，因此比方差（它的平方）更容易解读。
这里的核心要点是样本形式与总体形式的区别。总体标准差（σ）把离差平方和除以 n，只有当数据集就是你所关心的整个总体时才正确——例如某一个班级所有学生的考试成绩。样本标准差（s）则是除以 n − 1，适用于数据是用来推断更大总体离散程度的样本这一情形。
除以 n − 1 被称为贝塞尔校正。由于样本均值本身就是从这批数据算出来的，数据围绕样本均值的离差在系统上会比围绕真实（未知的）总体均值的离差略小；用 n − 1 而不是 n 作除数可以补偿这种偏差，使样本方差成为总体方差的无偏估计。样本量越小，这种校正的影响就越大；随着 n 增大，这种影响会逐渐变得可以忽略。
如何使用这个标准差计算器
- 至少输入两个用分号分隔的数字，例如：10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16。
- 如果你的数据是从更大总体中抽取的样本——这在调查、实验和质量检查中很常见——请查看样本标准差（s）。
- 如果你的数据就是你所关心的完整总体，请查看总体标准差（σ）。
- 利用均值、样本方差和个数来核对计算过程，或将其用于置信区间、Z 分数等进一步分析。
标准差公式
两种形式的计算起点相同：先求均值，再用每个数值减去均值，把每个离差平方，然后把所有平方值相加。总体形式用这个总和除以 n 再开方；样本形式用它除以 n − 1 再开方。
演示：数值为 2、4、4、4、5、5、7、9。第一步——求均值：(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5。第二步——求离差平方：9、1、1、1、0、0、4、16，求和得到 32。第三步（总体）——32 / 8 = 4，√4 = 2。第四步（样本）——32 / 7 = 4.571429（样本方差），√4.571429 = 2.13809（四舍五入）。
对同一批数据而言，样本标准差总是比总体标准差略大，因为它除以的是一个更小的数；唯一的例外是所有数值都相同，此时两者均为0。样本量越大，这种差距就越小。
常见错误
- 对样本数据使用总体公式（除以 n）——这会系统性地低估样本所来自总体的离散程度；对样本应除以 n − 1。
- 把方差和标准差混淆：方差是标准差的平方，单位是原始单位的平方。
- 把 68-95-99.7 法则用在明显偏态或重尾的数据上，而这类数据并不遵循该法则。
- 在不做标准化的情况下比较单位不同或量纲差异很大的数据集的标准差（若要比较相对离散程度，应使用变异系数，即标准差除以均值）。
常见问题
样本标准差和总体标准差有什么区别？
总体标准差把离差平方和除以 n，适用于数据就是整个总体的情形。样本标准差除以 n − 1（贝塞尔校正），适用于数据是用来估计更大总体离散程度的样本这一情形。对于同一批数据，样本标准差总是略大一些（若所有数值都相同，则两者均为0）；样本量越大，这种差异就越小。
为什么要除以 n − 1 而不是 n？
因为样本均值本身就是从这批数据计算出来的，数据围绕样本均值的离差在系统上会比围绕真实总体均值的离差略小。用 n − 1 而不是 n 作除数可以补偿这种偏差，使样本方差成为总体方差的无偏估计。这一调整被称为贝塞尔校正。
怎样手工计算标准差？
先求出均值。再用每个数值减去均值，把结果平方，然后把所有平方值相加。对样本而言，用这个总和除以 n − 1；对总体而言，除以 n。最后开平方根。举例：对于 2、4、4、4、5、5、7、9，均值是 5，离差平方和是 32，样本标准差是 √(32 / 7) ≈ 2.138（四舍五入）。
标准差为 0 是什么意思？
这说明数据集中所有数值都完全相同——完全没有离散程度。标准差越大，说明数值与均值的典型差距越大。标准差永远不会是负数。
什么是 68-95-99.7 法则？
对于近似正态（钟形）分布的数据，约 68% 的数值落在均值 1 个标准差以内，约 95% 落在 2 个标准差以内，约 99.7% 落在 3 个标准差以内。这个法则可以快速判断某个观测值是否异常，但只有当分布近似正态时才可靠。
方差和标准差是同一个概念吗？
不是。方差是各数值与均值离差平方的平均值，标准差是方差的平方根。方差的单位是原始单位的平方（例如原始数据单位是厘米，方差的单位就是平方厘米），这也是为什么描述离散程度时通常引用以原始单位表示的标准差。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.