如何理解你所需的样本量
下表列出了在常见置信水平和误差范围下（无限总体，p = 0.5）根据 Cochran 公式算出的所需样本量。
| 置信水平 | 误差范围 5% | 误差范围 3% |
|---|---|---|
| 90%（z = 1.6449） | 271 | 752 |
| 95%（z = 1.96） | 385 | 1068 |
| 99%（z = 2.5758） | 664 | 1843 |
- 以上数值假设采用简单随机抽样，并取保守值 p = 0.5。如果已有可靠的比例先验估计值，所需样本量可能更小。
- 该计算只解决抽样误差的问题。无回应偏差、措辞不当的问题以及不具代表性的抽样框，都不能靠增加样本量来解决。
- 误差范围减半，所需样本量大致会变为原来的四倍，因为 e 在公式中是以平方形式出现的。
- 对于非常小的总体，有限总体校正可以大幅减少所需样本量；在极限情况下，样本会趋近于整个总体（即普查）。
什么是样本量计算？
样本量计算回答的问题是：需要测量多少人（或多少个对象），才能让样本统计量——通常是一个比例，例如满意客户所占的份额——在给定的置信水平下，把总体真实值估计到指定的误差范围之内。抽样过多会浪费资源；抽样过少则会导致估计过于不精确而失去实用价值。
误差范围是估计值周围置信区间的半宽：5% 的误差范围意味着总体真实比例预计落在样本估计值上下 5 个百分点以内。置信水平（常见为 90%、95% 或 99%）描述的是按这种方式构造的区间，在多次重复抽样中能够覆盖真实值的比例。置信水平越高、误差范围越小，所需样本量就越大。
本计算器采用 William G. Cochran 在《Sampling Techniques》（第 3 版，1977 年）中发表的公式，取 p = 0.5——也就是使所需样本量达到最大的总体比例取值。当真实比例未知时，取 p = 0.5 是标准的保守做法：无论真实比例最终是多少，由此得到的样本量都是够用的。当总体规模有限且已知时，有限总体校正会减少所需样本量，因为对小总体抽取有意义的比例时，每名受访者能提供的信息量更大。
如何使用这个样本量计算器
- 输入总体规模——你所研究的人群或对象的总数。如果总体实际上不受限制或未知，输入 0。
- 选择置信水平：90%、95% 或 99%。调查研究最常采用 95%。
- 输入误差范围，用百分比表示，常见取值为 5% 或 3%。误差范围越小，所需样本量就越大。
- 查看所需样本量（如果输入了总体规模，会应用有限总体校正）以及无限总体情形下的未校正数值。规划招募人数时应留有余量，以抵消预期的无回应比例。
Cochran 公式与有限总体校正
Cochran 用于估计比例的样本量公式是 n0 = z² × p(1 − p) / e²，其中 z 是对应置信水平的标准正态临界值（90% 为 1.6449，95% 为 1.96，99% 为 2.5758），p 是假设的总体比例，e 是用小数表示的误差范围。取保守值 p = 0.5 时，p(1 − p) 达到其最大值 0.25。
演示：95% 置信水平、5% 误差范围。n0 = (1.96² × 0.25) / 0.05² = (3.8416 × 0.25) / 0.0025 = 0.9604 / 0.0025 = 384.16，对于无限总体，向上取整为 385 名受访者。
对于规模为 N 的有限总体，校正公式是 n = n0 / (1 + (n0 − 1) / N)。延续上例，取 N = 10,000：n = 384.16 / (1 + 383.16 / 10000) = 384.16 / 1.0383 = 369.98，向上取整为 370 名受访者。样本量总是向上取整，因为不可能调查半个受访者。
常见错误
- 把误差范围和置信水平混淆——误差范围（如 5%）是区间的半宽；置信水平（如 95%）是这类区间能够覆盖真实值的频率。
- 以为所需样本量会随总体规模成比例增长：对于大总体，所需样本量几乎不变，这就是为什么无论总体是 10 万还是 1 亿，95%/5% 条件下 385 名受访者都足够。
- 忽视无回应问题：公式给出的是所需的有效回复数，因此实际招募人数必须按预期的无回应率相应增加。
- 以为增加样本量能够解决偏差问题——样本量控制的是随机抽样误差，而不是由不具代表性的样本带来的系统性偏差。
常见问题
95% 置信水平、5% 误差范围需要多少受访者？
对于较大或无限的总体，需要 385 名受访者。Cochran 公式给出 n0 = (1.96² × 0.25) / 0.05² = 384.16，向上取整为 385。如果总体规模较小——比如 10,000——有限总体校正会把这个数字降到 370。
什么是误差范围？
误差范围是调查估计值周围置信区间的半宽。5% 的误差范围意味着，在给定的置信水平下，总体真实值预计落在样本估计值上下 5 个百分点以内。误差范围越小，所需样本量就越大：误差范围减半，样本量大致变为原来的四倍。
为什么计算器假设 p = 0.5？
所需样本量通过 p(1 − p) 这一项依赖于未知的总体比例 p，而当 p = 0.5 时这一项取得最大值。取 0.5 是 Cochran（1977）提出的标准保守做法：无论真实比例最终是多少，由此得到的样本量都足够。如果已有可信的 p 先验估计值，所需样本量可能会更小。
总体越大，是不是需要的样本量也大得多？
不是——这是一个常见的误解。未经校正的样本量完全不依赖于总体规模；有限总体校正只有在总体相对于样本较小时才会减少所需样本量。在 95% 置信水平、5% 误差范围下，无论总体是 10 万还是 1 亿，大约 385 名受访者就够了。
什么是有限总体校正？
当总体规模 N 有限时，不放回抽样能让每个观测值提供略多的信息，因此所需受访者数量会更少。校正公式是 n = n0 / (1 + (n0 − 1) / N)，其中 n0 是未校正的样本量。对于 N = 10,000，在 95%/5% 条件下，它把所需数量从 385 降到 370；当 N 非常大时，这种校正的影响可以忽略不计。
这个计算考虑了无回应的情况吗？
没有。该公式给出的是所需的有效回复数量。如果你预计回复率为 40%，就必须邀请大约 n / 0.4 个人才能得到 n 份有效回复。还需要注意，无回应可能带来偏差，而这种偏差无法通过增加样本量来消除。
参考文献
- Cochran WG. Sampling Techniques, 3rd edition. Wiley, 1977 (sample size for estimating proportions; finite population correction).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.2.2: Sample sizes required. nist.gov.
- Kish L. Survey Sampling. Wiley, 1965 (design effects and practical survey sampling).