如何理解你的平均数
均值只是集中趋势的多种度量之一。下表以示例数据 12、15、18、22、9 对它们做了比较。
| 度量 | 12, 15, 18, 22, 9 的值 | 说明 |
|---|---|---|
| 均值（平均数） | 15.2 | 总和 / 个数；用到每一个值；容易受异常值影响 |
| 中位数 | 15 | 排序后列表 9, 12, 15, 18, 22 的中间值 |
| 最小值 | 9 | 最小的数值 |
| 最大值 | 22 | 最大的数值 |
| 极差 | 13 | 最大值减最小值；一种简单的离散程度度量 |
- 均值对极端值很敏感：一个非常大或非常小的数就可能显著改变它。可以对比均值和中位数来判断数据是否偏态。
- 样本均值是对其所抽取总体均值的估计，但由于抽样误差，两者通常并不完全相同；详见置信区间计算器。
- 只有在基数相同的情况下，对百分比或比率求平均才有意义；否则需要用加权平均。
什么是平均数？
平均数——正式名称是算术平均——是描述数据集中趋势最常用的指标。它的计算方法是把所有数值相加，再除以数值的个数。均值能够平衡数据：高于均值的偏差之和恰好等于低于均值的偏差之和。
算术平均用到了数据集中的每一个数值，这使它计算高效，但也容易受异常值影响。一个极端值就可能把均值拉得偏离大多数数据——例如，在 12、15、18、22、9 这组数据中加入 100，平均数会从 15.2 上升到约 29.3。对于收入或房价这类偏态分布的数据，通常会同时报告中位数或改用中位数。
「平均」一词有时也被泛指其他描述集中趋势的指标，包括中位数（中间值）和众数（出现次数最多的值）。在统计学教材和本计算器中，除非另有说明，「平均」都指算术平均。
如何使用这个平均数计算器
- 用分号分隔输入你的数字，例如：12; 15; 18; 22; 9。支持小数和负数。
- 查看平均数（算术平均），即总和除以个数。
- 核对辅助统计量——总和、个数、最小值和最大值——确认计算器正确解析了你的数据列表。
- 如需手工核对，把所有数值相加，再除以你输入的数值个数。
平均数公式
n 个数值 x1、x2、……、xn 的算术平均等于它们的总和除以 n。
演示：数值为 12、15、18、22、9。第一步——相加：12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76。第二步——数个数：n = 5。第三步——相除：76 / 5 = 15.2。平均数是 15.2。
均值总是落在数据的最小值和最大值之间。它等于如果把总量平均分配给每一个观测值时，每个观测值应得到的数值——把 76 平均分给 5 份，每份就是 15.2。
常见错误
- 对多个平均数不加权直接再求平均：只有当各组样本量相同时，两组均值的平均才等于总体均值。
- 对严重偏态的数据（如收入、房价）使用均值——这类数据往往被少数极大值主导，中位数通常更具代表性。
- 数 n 时漏算某个数值——除数必须恰好等于参与求和的数值个数。
- 对等距离的速度等比率数据用算术平均求平均——这种情况应该用调和平均（详见均值计算器）。
常见问题
怎样计算平均数？
把所有数字相加，再用总和除以数字的个数。例如对于 12、15、18、22 和 9：总和是 76，共有 5 个数，所以平均数是 76 / 5 = 15.2。
平均数、均值和中位数有什么区别？
在日常用语中，「平均数」通常指算术平均：总和除以个数。中位数是排序后数据的中间值，众数是出现次数最多的值。这三者都是集中趋势的度量，但在数据存在偏态或异常值时，它们可能有较大差异。
什么时候平均数会产生误导？
当数据存在偏态或异常值时。由于算术平均用到了每一个数值，一个极端观测值就可能把均值拉得远离大多数数据所在的位置。例如，一群人的平均收入会被其中一位收入极高的人拉高，而中位数则不受影响。同时报告均值和中位数能提供更全面的信息。
平均数可以是列表中没有出现过的数字吗？
可以，而且通常就是这样。12、15、18、22 和 9 的平均数是 15.2，这个数并未出现在列表中。均值是数据的平衡点，不一定是实际观测到的值——「平均每个家庭有 1.9 个孩子」就是一个经典的例子。
异常值会如何影响平均数？
每个数值对总和的贡献是相等的，所以一个远离其他数值的数会把均值拉向自己。在 12、15、18、22、9 这组数据中加入 100，均值会从 15.2 变为 (76 + 100) / 6 ≈ 29.33（四舍五入）。而中位数的变化要小得多，这也是为什么容易出现异常值的数据更倾向于使用中位数。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.