如何理解这四个结果
下表在假设独立的前提下，展示了示例 P(A) = 50%、P(B) = 30% 对应的每种结果。
| 结果 | 公式 | 示例数值 |
|---|---|---|
| A 和 B 都发生 | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| 至少一个发生（A 或 B） | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| A 不发生 | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| 两者都不发生 | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- 以上所有结果都假设 A 和 B 相互独立。如果两个事件相互影响（相依事件），这些公式就不再适用，需要使用条件概率。
- 「至少一个发生」和「都不发生」互为对立事件：它们的概率之和永远是 100%。
- 概率描述的是大量重复试验下的长期频率；15% 的概率并不意味着在接下来的 100 次试验中恰好发生 15 次。
什么是组合事件的概率？
概率是介于 0 和 1（或 0% 到 100%）之间的数，用来表示一个事件发生的可能性：0 表示不可能，1 表示必然发生。当同时考虑两个事件时，标准的概率法则决定了它们各自的概率如何组合成联合结果（例如「两者都发生」或「至少一个发生」）的概率。
本计算器假设两个事件相互独立：知道其中一个已经发生，不会给出关于另一个是否发生的任何信息。抛硬币、分别掷骰子、互不相关的随机抽取都是独立性的经典例子。在独立的前提下，两个事件都发生的概率就是它们各自概率的乘积：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
独立性假设至关重要，必须结合实际情况来核实，而不能默认成立。从同一副牌中不放回地抽两张牌，或者同一天发生的两个天气事件，都是相互依赖的——第一个结果会改变第二个结果发生的概率——这时乘法法则会低估或高估真实的联合概率。对于相依事件，需要用条件概率：P(A 且 B) = P(A) × P(B | A)。
如何使用这个概率计算器
- 输入事件 A 的概率，用 0 到 100 之间的百分比表示，例如公平硬币正面朝上的概率是 50。
- 输入事件 B 的概率，用百分比表示，例如 30。
- 确认这两个事件确实相互独立——一个发生不能改变另一个发生的机会。这里用到的公式只有在这一假设成立时才有效。
- 查看四种组合概率的结果：两者都发生、至少一个发生、A 不发生，以及两者都不发生。
独立事件的概率法则
乘法法则（两者都发生）：对于独立事件，P(A 且 B) = P(A) × P(B)。对立事件法则：P(非 A) = 1 − P(A)。都不发生：P(都不发生) = (1 − P(A)) × (1 − P(B))，这是把乘法法则应用于两个对立事件的结果。至少一个发生（容斥原理）：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。
演示：P(A) = 50%，P(B) = 30%，写作 0.5 和 0.3。两者都发生：0.5 × 0.3 = 0.15 = 15%。至少一个发生：0.5 + 0.3 − 0.15 = 0.65 = 65%。A 不发生：1 − 0.5 = 0.5 = 50%。都不发生：0.5 × 0.7 = 0.35 = 35%。作为一致性检验，「至少一个发生」和「都不发生」互为对立事件：65% + 35% = 100%。
在「至少一个发生」的公式中减去 P(A 且 B) 是为了避免重复计数：否则两者都发生的结果会在 P(A) 中被计一次，又在 P(B) 中被再计一次。
常见错误
- 计算「A 或 B」时直接相加而不减去重叠部分：单纯的 P(A) + P(B) 会把两者都发生的结果重复计算，甚至可能超过 100%。
- 把相依事件当作独立事件来相乘概率——不放回抽牌就是经典的反例。
- 赌徒谬误：以为独立试验的过去结果会改变未来发生的概率；一枚公平硬币连续正面朝上五次，下一次正面朝上的概率仍然是 50%。
- 把「两者都发生」和「至少一个发生」搞混——对于 P(A) = 50% 和 P(B) = 30%，两者分别是 15% 和 65%，是差异很大的两个量。
常见问题
两个事件相互独立是什么意思？
两个事件独立是指其中一个的发生不会改变另一个发生的概率——用公式表示就是 P(A 且 B) = P(A) × P(B)。分别抛硬币或掷不相关的骰子是独立的；从同一副牌中不放回地抽两张牌则不是，因为第一次抽取会改变牌堆的构成。
怎样计算两个事件都发生的概率？
对于独立事件，把各自的概率相乘：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。例如，P(A) = 50%、P(B) = 30% 时，两者都发生的概率是 0.5 × 0.3 = 0.15，即 15%。这个乘法法则只有在事件相互独立时才成立。
怎样计算至少一个事件发生的概率？
使用容斥原理：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。对于概率分别为 50% 和 30% 的独立事件，就是 0.5 + 0.3 − 0.15 = 0.65，即 65%。等价地，也可以用 1 减去两者都不发生的概率：1 − (0.5 × 0.7) = 0.65。
为什么不能直接把两个概率相加来算「A 或 B」？
因为两者都发生的结果会被重复计算——在 P(A) 中算一次，在 P(B) 中又算一次。直接把 50% 和 30% 相加得到 80%，但对独立事件而言，减去 15% 的重叠部分后，正确答案是 65%。只有对互斥事件（按定义两者不可能同时发生）才能直接相加。
如果我的事件不是独立的怎么办？
那么这些公式就不适用了。对于相依事件，联合概率要用条件概率来计算：P(A 且 B) = P(A) × P(B | A)，其中 P(B | A) 是已知 A 发生的条件下 B 发生的概率。例如，从一副标准扑克牌中不放回地抽出两张 A 的概率是 (4/52) × (3/51)，而不是 (4/52) × (4/52)。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.